Persamaan Schrödinger

Persamaan Schrödinger menjelaskan bagaimana suatu keadaan kuantum berubah dalam mekanika kuantum nonrelativistik. Jika Anda mengetahui fungsi gelombang $\psi$ dan energi potensial $V$, persamaan ini memberi tahu bagaimana $\psi$ berevolusi dan keadaan energi mana yang diizinkan.

Untuk satu partikel dalam tiga dimensi, persamaan bergantung waktu biasanya ditulis sebagai

$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t) \right)\psi$$

Di sini $m$ adalah massa partikel, $V$ adalah energi potensial, dan $\hbar$ adalah konstanta Planck tereduksi. Ini adalah titik awal standar ketika model nonrelativistik sesuai digunakan, artinya efek relativistik cukup kecil untuk diabaikan.

Apa Arti Persamaan Schrödinger

Persamaan ini menghubungkan dua gagasan: bagaimana fungsi gelombang berubah terhadap waktu dan bagaimana energi sistem bekerja pada fungsi gelombang tersebut. Suku $\nabla^2$ terkait dengan energi kinetik, sedangkan $V$ menyatakan energi potensial.

Anda tidak boleh menafsirkan $\psi$ sebagai gelombang klasik seperti tinggi permukaan air. Dalam interpretasi standar, besaran yang dapat diukur adalah $|\psi|^2$, yang memberikan rapat probabilitas setelah dinormalisasi.

Itulah pergeseran utama dari mekanika klasik. Persamaan ini biasanya tidak memprediksi satu lintasan partikel yang tepat. Persamaan ini memprediksi bagaimana struktur probabilitas sistem berubah.

Kapan Bentuk Tak Bergantung Waktu Berlaku

Persamaan Schrödinger bergantung waktu adalah bentuk yang umum. Bentuk kedua muncul hanya ketika potensial tidak bergantung pada waktu dan Anda sedang mencari keadaan stasioner dengan energi tertentu.

Dalam satu dimensi, bentuk tak bergantung waktu tersebut adalah

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$$

Ini bukan hukum yang berbeda. Ini adalah kasus khusus dari persamaan bergantung waktu dalam kondisi tersebut. Jika potensial berubah terhadap waktu, Anda tidak boleh mengharapkan bentuk yang lebih sederhana ini menggambarkan seluruh situasi.

Contoh: Partikel Dalam Kotak Satu Dimensi

Contoh standar adalah partikel yang terkurung antara $x=0$ dan $x=L$, dengan energi potensial

$$V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L \\ \infty, & \text{di luar kotak} \end{cases}$$

Di dalam kotak, potensial bernilai nol, sehingga persamaan tak bergantung waktu menjadi

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2} = E\psi$$

Pada dinding kotak, fungsi gelombang harus bernilai nol:

$$\psi(0) = 0, \qquad \psi(L) = 0$$

Kondisi batas tersebut menyingkirkan sebagian besar solusi matematis dan hanya menyisakan keadaan stasioner tertentu:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad n = 1,2,3,\dots$$

dan energi yang diizinkan adalah

$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$$

Inilah gagasan utama yang perlu diingat. Persamaannya saja tidak cukup; kondisi batas juga penting. Bersama-sama, keduanya hanya mengizinkan himpunan energi diskret, bukan semua nilai yang mungkin.

Jika kotaknya lebih besar, energi yang diizinkan menjadi lebih kecil karena $E_n \propto 1/L^2$. Jika kotaknya lebih kecil, tingkat-tingkat energinya menjadi semakin berjauhan.

Mengapa Contoh Ini Membuat Mekanika Kuantum Lebih Mudah Dipahami

Model partikel dalam kotak itu sederhana, tetapi sangat cepat memperjelas satu gagasan kuantum: pengurungan dapat menghasilkan energi yang terkuantisasi. Pola yang sama juga muncul lebih luas pada atom, sumur kuantum, dan sistem terikat lainnya.

Contoh ini juga menunjukkan mengapa kondisi batas bukan sekadar detail tambahan. Dalam mekanika kuantum, susunan fisik dan fungsi gelombang yang diizinkan saling terkait erat.

Kesalahan Umum tentang Persamaan Schrödinger

• Menganggap $\psi$ itu sendiri sebagai probabilitas. Dalam interpretasi standar, rapat probabilitas adalah $|\psi|^2$ setelah normalisasi.
• Menggunakan persamaan tak bergantung waktu seolah-olah selalu berlaku. Bentuk ini hanya tepat untuk masalah keadaan stasioner dengan potensial yang tak bergantung waktu.
• Mengharapkan persamaan ini memberikan lintasan klasik yang tepat. Secara umum, persamaan ini mengembangkan fungsi gelombang, bukan satu lintasan tunggal.
• Lupa bahwa kondisi batas dapat mengubah solusi mana yang diizinkan secara fisik.

Di Mana Persamaan Schrödinger Digunakan

Persamaan ini digunakan dalam fisika atom, fisika molekul, masalah tunneling, model semikonduktor, dan banyak bagian kimia kuantum. Dalam setiap kasus, bentuk potensial dan detail sistemnya berubah, tetapi kerangka dasarnya tetap sama.

Untuk kecepatan yang sangat tinggi atau ketika efek relativistik menjadi penting, persamaan Schrödinger bukan model yang lengkap. Dalam rezim itu, diperlukan persamaan yang lebih lanjut.

Coba Perubahan yang Mirip

Pertahankan kotak yang sama tetapi ganti $L$ menjadi $2L$. Tanpa banyak aljabar, prediksikan apa yang terjadi pada $E_1$ dan jarak antara tingkat energi yang berdekatan. Jika Anda ingin perbandingan yang berguna setelah itu, lihat persamaan gelombang dan perhatikan bagaimana kedua persamaan sama-sama menghubungkan persamaan diferensial dengan batasan fisik, tetapi dengan cara yang berbeda.