Continuité — Définition, types et exemples

Une fonction est continue en $x=a$ lorsque la valeur en $a$ correspond à la valeur vers laquelle la fonction tend au voisinage de $a$. En termes de calcul, la continuité en un point signifie que $f(a)$ existe, que $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, et que ces deux valeurs sont égales.

Cela s’écrit avec les conditions suivantes :

$$f(a) \text{ is defined}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) \text{ exists}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$

Si une seule de ces conditions échoue, la fonction n’est pas continue en ce point.

Définition de la continuité en langage simple

On décrit parfois la continuité comme le fait de « tracer le graphe sans lever le crayon ». Cette image aide, mais la vraie définition porte sur les entrées et les sorties voisines.

Si $x$ se rapproche de $a$, alors $f(x)$ doit se rapprocher de la valeur réelle $f(a)$. C’est pourquoi la continuité dépend à la fois de la limite et de la valeur de la fonction. Un graphe peut sembler presque relié et pourtant ne pas satisfaire la définition s’il y a un trou ou un saut au point considéré.

Comment vérifier la continuité en un point

La plupart des exercices se ramènent à la même liste de vérification.

1. Vérifiez que $f(a)$ est définie.
2. Calculez $\lim_{x \to a} f(x)$.
3. Si les limites à gauche et à droite sont différentes, arrêtez-vous : la fonction n’est pas continue en ce point.
4. Si la limite existe, comparez-la à $f(a)$.

C’est la forme pratique de la définition. Pour les polynômes, la vérification est généralement immédiate, car ils sont continus pour tout réel $x$. Pour les fonctions rationnelles, les points problématiques probables sont les valeurs qui annulent le dénominateur.

Continuité en un point, sur un intervalle et d’un seul côté

Dans beaucoup de cours, les « types de continuité » désignent le cadre dans lequel on la vérifie.

La continuité en un point signifie que la définition est vérifiée pour une valeur précise, comme $x=2$.

La continuité sur un intervalle signifie que la fonction est continue en tout point de cet intervalle. Sur un intervalle fermé $[a,b]$, on vérifie les extrémités à l’aide de limites unilatérales.

La continuité unilatérale est importante aux extrémités ou aux points de raccord d’une fonction définie par morceaux. Par exemple, la continuité à droite en $a$ utilise $\lim_{x \to a^+} f(x)$.

Vous verrez aussi le mot « types » employé pour les façons courantes dont la continuité échoue : discontinuités amovible, par saut et infinie.

Types de discontinuité

Une discontinuité amovible se produit lorsque la limite existe, mais que la valeur de la fonction manque ou ne lui correspond pas. C’est le trou classique dans le graphe.

Une discontinuité par saut se produit lorsque les limites à gauche et à droite existent toutes les deux, mais sont différentes.

Une discontinuité infinie se produit lorsque la fonction croît sans borne au voisinage du point, donc il n’y a pas de limite finie en ce point.

Ces distinctions sont importantes, car toutes les ruptures ne se comportent pas de la même manière. Un trou peut parfois être corrigé en redéfinissant une seule valeur. Un saut ou une asymptote verticale ne peut pas être réparé de cette façon.

Exemple détaillé : cette fonction est-elle continue en $x=1$ ?

Considérons

$$f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & x \ne 1 \\ 2, & x=1 \end{cases}$$

Nous voulons vérifier la continuité en $x=1$.

Commençons par la valeur de la fonction. Comme la deuxième ligne définit le point,

$$f(1)=2.$$

Calculons maintenant la limite. Pour $x \ne 1$,

$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$

Ainsi, au voisinage de $x=1$, la fonction se comporte comme $x+1$, ce qui donne

$$\lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1} (x+1)=2.$$

La limite existe, et elle correspond à la valeur de la fonction :

$$\lim_{x \to 1} f(x)=f(1)=2.$$

Donc la fonction est continue en $x=1$.

Cet exemple montre clairement la condition essentielle : combler un trou ne fonctionne que si on le remplit avec la même valeur que celle vers laquelle tend la limite. Ici, la définition par morceaux fixe $f(1)=2$, ce qui correspond à la limite, donc la fonction est continue en $x=1$.

Erreurs fréquentes lors de la vérification de la continuité

1. Vérifier seulement si $f(a)$ existe. Une valeur définie ne garantit pas à elle seule la continuité.
2. Vérifier seulement la limite. La limite peut exister même si la valeur de la fonction est différente ou absente.
3. Oublier les limites unilatérales pour les fonctions définies par morceaux. Si les deux côtés ne coïncident pas, la fonction n’est pas continue en ce point.
4. Supposer qu’une formule familière est continue partout. Les fonctions rationnelles peuvent échouer là où le dénominateur vaut zéro.

Quand la continuité est utilisée en calcul

La continuité est importante parce que de nombreux résultats majeurs du calcul la supposent. Le théorème des valeurs intermédiaires, par exemple, exige la continuité sur un intervalle. La dérivabilité est encore plus forte : si une fonction est dérivable en un point, alors elle doit y être continue.

En dehors des énoncés de théorèmes, la continuité vous aide à décider si la substitution est valable, si un graphe présente une vraie rupture, et si un modèle évolue de manière progressive ou brusque.

Essayez un exercice similaire

Essayez votre propre version avec une fonction définie par morceaux au point de raccord. Calculez séparément la limite à gauche, la limite à droite et la valeur réelle de la fonction. Si vous voulez aller plus loin, explorez les limites et remarquez que la continuité est précisément le moment où la limite et la valeur de la fonction coïncident.