連続性とは？定義・種類・例

関数が $x=a$ で連続であるとは、$a$ における値が、$x$ が $a$ の近くで関数が近づいていく値と一致することです。微積分の言葉でいえば、1点での連続性とは、$f(a)$ が存在し、$\lim_{x \to a} f(x)$ が存在し、その2つの値が等しいことを意味します。

条件で書くと、次のようになります。

$$f(a) \text{ is defined}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) \text{ exists}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$

このうち1つでも成り立たなければ、その点で関数は連続ではありません。

連続性の定義をやさしく言うと

連続性は「鉛筆を紙から離さずにグラフが描けること」と説明されることがあります。このイメージは役に立ちますが、本当の定義は、近くの入力と出力の関係にあります。

$x$ が $a$ に近づくなら、$f(x)$ も実際の出力 $f(a)$ に近づくはずです。だから連続性は、極限と関数値の両方に依存します。グラフがほとんどつながって見えても、その点に穴や跳びがあれば、定義の上では連続ではありません。

1点での連続性の調べ方

多くの問題は、同じ確認手順にまとめられます。

1. $f(a)$ が定義されていることを確かめる。
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ を求める。
3. 左側極限と右側極限が異なるなら、そこで終了。その関数はその点で連続ではない。
4. 極限が存在するなら、それが $f(a)$ と等しいか比べる。

これは定義を実際に使う形です。多項式はすべての実数 $x$ で連続なので、確認はたいていすぐ終わります。有理関数では、分母が 0 になる値が問題になりやすい点です。

1点での連続、区間での連続、片側連続

多くの授業で「連続性の種類」というと、どの場面で調べるかを指します。

1点での連続とは、$x=2$ のような特定の1つの値で定義が成り立つことです。

区間での連続とは、その区間のすべての点で関数が連続であることです。閉区間 $[a,b]$ では、端点は片側極限で調べます。

片側連続は、端点や区分的に定義された関数の境目で重要です。たとえば $a$ における右連続では、$\lim_{x \to a^+} f(x)$ を使います。

また、「種類」という言葉が、連続性が失われる代表的な形、つまり除去可能不連続、跳び不連続、無限不連続を指すこともあります。

不連続の種類

除去可能不連続は、極限は存在するのに、関数値が定義されていないか、その極限と一致しないときに起こります。これはグラフに穴があいている典型例です。

跳び不連続は、左側極限と右側極限がどちらも存在するのに、値が異なるときに起こります。

無限不連続は、その点の近くで関数が限りなく大きくなったり小さくなったりして、有界な極限をもたないときに起こります。

これらの違いは重要です。すべての切れ目が同じように振る舞うわけではありません。穴なら1つの値を定め直して直せることがありますが、跳びや垂直漸近線はその方法では直せません。

例題：この関数は $x=1$ で連続か？

次を考えます。

$$f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & x \ne 1 \\ 2, & x=1 \end{cases}$$

$x=1$ で連続かどうかを調べます。

まず関数値を確認します。2行目でその点の値が定義されているので、

$$f(1)=2.$$

次に極限を求めます。$x \ne 1$ では、

$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$

したがって $x=1$ の近くでは、この関数は $x+1$ と同じように振る舞うので、

$$\lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1} (x+1)=2.$$

極限は存在し、関数値とも一致しています。

$$\lim_{x \to 1} f(x)=f(1)=2.$$

よって、この関数は $x=1$ で連続です。

この例は大事な条件をはっきり示しています。穴を埋めて連続にできるのは、極限が近づく値と同じ値で埋めたときだけです。ここでは区分的な定義で $f(1)=2$ としており、それが極限と一致するので、関数は $x=1$ で連続です。

連続性を調べるときのよくあるミス

1. $f(a)$ が存在するかだけを確認すること。値が定義されているだけでは連続とはいえません。
2. 極限だけを確認すること。極限が存在しても、関数値が違ったり未定義だったりすることがあります。
3. 区分的関数で片側極限を忘れること。左右で一致しなければ、その点で連続ではありません。
4. 見慣れた式はどこでも連続だと思い込むこと。有理関数は分母が 0 になる点で連続でないことがあります。

微積分で連続性が使われる場面

連続性が重要なのは、微積分の主要な結果の多くがそれを仮定しているからです。たとえば中間値の定理は、ある区間での連続性を必要とします。微分可能性はさらに強い条件で、ある点で微分可能なら、その点で必ず連続です。

定理の条件以外でも、連続性は代入してよいか、グラフに本当の切れ目があるか、モデルがなめらかに変化するか急に変化するかを判断するのに役立ちます。

似た問題に挑戦してみよう

境界の点をもつ区分的関数で、自分でも同じような問題を試してみましょう。左側極限、右側極限、実際の関数値をそれぞれ別に計算します。次の一歩に進みたいなら極限を学び、連続性とは結局、極限と関数値が一致する瞬間なのだと確かめてみてください。