Stetigkeit — Definition, Arten & Beispiele

Eine Funktion ist bei $x=a$ stetig, wenn ihr Wert an der Stelle $a$ mit dem Wert übereinstimmt, dem sich die Funktion in der Nähe von $a$ annähert. In der Analysis bedeutet Stetigkeit an einer Stelle, dass $f(a)$ existiert, $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert und diese beiden Werte gleich sind.

Als Bedingungen geschrieben:

$$f(a) \text{ is defined}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) \text{ exists}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$

Wenn auch nur eine Bedingung nicht erfüllt ist, ist die Funktion an dieser Stelle nicht stetig.

Stetigkeit einfach erklärt

Vielleicht hörst du die Beschreibung, man könne den Graphen „zeichnen, ohne den Stift abzusetzen“. Dieses Bild hilft, aber die eigentliche Definition bezieht sich auf nahe Eingaben und Ausgaben.

Wenn sich $x$ an $a$ annähert, dann sollte sich $f(x)$ dem tatsächlichen Funktionswert $f(a)$ annähern. Deshalb hängt Stetigkeit sowohl vom Grenzwert als auch vom Funktionswert ab. Ein Graph kann fast zusammenhängend aussehen und die Definition trotzdem verfehlen, wenn an der Stelle ein Loch oder ein Sprung vorliegt.

So prüfst du die Stetigkeit an einer Stelle

Die meisten Aufgaben lassen sich auf dieselbe Checkliste zurückführen.

1. Prüfe, ob $f(a)$ definiert ist.
2. Bestimme $\lim_{x \to a} f(x)$.
3. Wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert verschieden sind, stoppe: Die Funktion ist dort nicht stetig.
4. Wenn der Grenzwert existiert, vergleiche ihn mit $f(a)$.

Das ist die praktische Form der Definition. Bei Polynomen ist die Prüfung meist sofort erledigt, weil sie für jedes reelle $x$ stetig sind. Bei gebrochenrationalen Funktionen sind die wahrscheinlichen Problemstellen die Werte, bei denen der Nenner null wird.

Stetigkeit an einer Stelle, auf einem Intervall und einseitig

In vielen Kursen meint man mit „Arten der Stetigkeit“ den Zusammenhang, in dem man sie prüft.

Stetigkeit an einer Stelle bedeutet, dass die Definition für einen bestimmten Wert gilt, zum Beispiel für $x=2$.

Stetigkeit auf einem Intervall bedeutet, dass die Funktion an jedem Punkt dieses Intervalls stetig ist. Auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ prüft man die Randpunkte mit einseitigen Grenzwerten.

Einseitige Stetigkeit ist an Randpunkten oder an Übergängen stückweise definierter Funktionen wichtig. Zum Beispiel verwendet Stetigkeit von rechts bei $a$ den Grenzwert $\lim_{x \to a^+} f(x)$.

Du wirst „Arten“ auch für die typischen Fälle sehen, in denen Stetigkeit scheitert: hebbare, Sprung- und unendliche Unstetigkeiten.

Arten von Unstetigkeit

Eine hebbare Unstetigkeit liegt vor, wenn der Grenzwert existiert, aber der Funktionswert fehlt oder nicht mit ihm übereinstimmt. Das ist das klassische Loch im Graphen.

Eine Sprungunstetigkeit liegt vor, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert beide existieren, aber verschieden sind.

Eine unendliche Unstetigkeit liegt vor, wenn die Funktion in der Nähe der Stelle unbegrenzt wächst, sodass dort kein endlicher Grenzwert existiert.

Diese Unterscheidungen sind wichtig, weil sich nicht jede Unterbrechung gleich verhält. Ein Loch kann man manchmal beheben, indem man einen einzelnen Wert neu definiert. Ein Sprung oder eine vertikale Asymptote lässt sich so nicht reparieren.

Durchgerechnetes Beispiel: Ist diese Funktion bei $x=1$ stetig?

Betrachte

$$f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & x \ne 1 \\ 2, & x=1 \end{cases}$$

Wir wollen die Stetigkeit bei $x=1$ prüfen.

Zuerst prüfen wir den Funktionswert. Da die zweite Zeile den Punkt definiert, gilt

$$f(1)=2.$$

Nun bestimmen wir den Grenzwert. Für $x \ne 1$ gilt

$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$

In der Nähe von $x=1$ verhält sich die Funktion also wie $x+1$, und damit folgt

$$\lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1} (x+1)=2.$$

Der Grenzwert existiert und stimmt mit dem Funktionswert überein:

$$\lim_{x \to 1} f(x)=f(1)=2.$$

Also ist die Funktion bei $x=1$ stetig.

Dieses Beispiel zeigt die zentrale Bedingung deutlich: Ein Loch zu füllen funktioniert nur dann, wenn du genau den Wert einsetzt, dem sich der Grenzwert annähert. Hier setzt die stückweise Definition $f(1)=2$, und das stimmt mit dem Grenzwert überein, also ist die Funktion bei $x=1$ stetig.

Häufige Fehler beim Prüfen der Stetigkeit

1. Nur zu prüfen, ob $f(a)$ existiert. Ein definierter Wert allein garantiert noch keine Stetigkeit.
2. Nur den Grenzwert zu prüfen. Der Grenzwert kann existieren, auch wenn der Funktionswert anders ist oder fehlt.
3. Einseitige Grenzwerte bei stückweise definierten Funktionen zu vergessen. Wenn beide Seiten nicht übereinstimmen, ist die Funktion dort nicht stetig.
4. Anzunehmen, dass jede vertraut aussehende Formel überall stetig ist. Gebrochenrationale Funktionen können dort scheitern, wo der Nenner null ist.

Wofür Stetigkeit in der Analysis gebraucht wird

Stetigkeit ist wichtig, weil viele zentrale Sätze der Analysis sie voraussetzen. Der Zwischenwertsatz verlangt zum Beispiel Stetigkeit auf einem Intervall. Differenzierbarkeit ist sogar stärker: Wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist, dann muss sie dort auch stetig sein.

Auch außerhalb von Satzvoraussetzungen hilft Stetigkeit dir zu entscheiden, ob Einsetzen erlaubt ist, ob ein Graph wirklich eine Unterbrechung hat und ob sich ein Modell allmählich oder sprunghaft verändert.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche deine eigene Variante mit einer stückweise definierten Funktion an der Übergangsstelle. Berechne den linksseitigen Grenzwert, den rechtsseitigen Grenzwert und den tatsächlichen Funktionswert getrennt. Wenn du den nächsten Schritt gehen willst, schau dir Grenzwerte genauer an und beachte, dass Stetigkeit genau dann vorliegt, wenn Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen.