Continuidad — Definición, tipos y ejemplos

Una función es continua en $x=a$ cuando el valor en $a$ coincide con el valor al que se acerca la función cerca de $a$. En términos de cálculo, la continuidad en un punto significa que $f(a)$ existe, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, y esos dos valores son iguales.

Escrito como condiciones:

$$f(a) \text{ is defined}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) \text{ exists}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$

Si falla хотя бы una condición, la función no es continua en ese punto.

Definición de continuidad en palabras sencillas

Puede que escuches que la continuidad se describe como “dibujar la gráfica sin levantar el lápiz”. Esa imagen ayuda, pero la definición real trata sobre entradas y salidas cercanas.

Si $x$ se acerca a $a$, entonces $f(x)$ también debería acercarse al valor real de salida $f(a)$. Por eso la continuidad depende tanto del límite como del valor de la función. Una gráfica puede parecer casi conectada y aun así no cumplir la definición si hay un hueco o un salto en ese punto.

Cómo comprobar la continuidad en un punto

La mayoría de los ejercicios se reducen a la misma lista de verificación.

1. Asegúrate de que $f(a)$ esté definida.
2. Calcula $\lim_{x \to a} f(x)$.
3. Si el límite por la izquierda y el límite por la derecha son distintos, detente: la función no es continua allí.
4. Si el límite existe, compáralo con $f(a)$.

Esta es la forma práctica de la definición. En los polinomios, la comprobación suele ser inmediata porque son continuos para todo número real $x$. En las funciones racionales, los puntos problemáticos suelen ser los valores que hacen cero el denominador.

Continuidad en un punto, en un intervalo y por un lado

En muchas clases, “tipos de continuidad” se refiere al contexto en el que la compruebas.

La continuidad en un punto significa que la definición se cumple en un valor específico, como $x=2$.

La continuidad en un intervalo significa que la función es continua en cada punto de ese intervalo. En un intervalo cerrado $[a,b]$, los extremos se comprueban con límites laterales.

La continuidad lateral importa en los extremos o en los puntos de unión de funciones definidas a trozos. Por ejemplo, la continuidad por la derecha en $a$ usa $\lim_{x \to a^+} f(x)$.

También verás que “tipos” se usa para las formas comunes en que falla la continuidad: discontinuidades removibles, de salto e infinitas.

Tipos de discontinuidad

Una discontinuidad removible ocurre cuando el límite existe, pero el valor de la función falta o no coincide con él. Este es el clásico hueco en la gráfica.

Una discontinuidad de salto ocurre cuando los límites laterales existen, pero son distintos.

Una discontinuidad infinita ocurre cuando la función crece sin cota cerca del punto, así que no hay un límite finito allí.

Estas distinciones importan porque no todas las rupturas se comportan igual. A veces un hueco puede arreglarse redefiniendo un solo valor. Un salto o una asíntota vertical no pueden repararse de esa manera.

Ejemplo resuelto: ¿Es continua esta función en $x=1$?

Considera

$$f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & x \ne 1 \\ 2, & x=1 \end{cases}$$

Queremos comprobar la continuidad en $x=1$.

Primero revisamos el valor de la función. Como la segunda línea define el punto,

$$f(1)=2.$$

Ahora calculamos el límite. Para $x \ne 1$,

$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$

Así que cerca de $x=1$, la función se comporta como $x+1$, lo que da

$$\lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1} (x+1)=2.$$

El límite existe y coincide con el valor de la función:

$$\lim_{x \to 1} f(x)=f(1)=2.$$

Por lo tanto, la función es continua en $x=1$.

Este ejemplo muestra con claridad la condición clave: arreglar un hueco solo funciona si lo rellenas con el mismo valor al que se acerca el límite. Aquí, la definición a trozos establece $f(1)=2$, que coincide con el límite, así que la función es continua en $x=1$.

Errores comunes al comprobar continuidad

1. Comprobar solo si existe $f(a)$. Que el valor esté definido por sí solo no garantiza continuidad.
2. Comprobar solo el límite. El límite puede existir incluso cuando el valor de la función es distinto o no existe.
3. Olvidar los límites laterales en funciones definidas a trozos. Si los dos lados no coinciden, la función no es continua allí.
4. Suponer que toda fórmula familiar es continua en todas partes. Las funciones racionales pueden fallar donde el denominador es cero.

Cuándo se usa la continuidad en cálculo

La continuidad importa porque muchos resultados importantes del cálculo la suponen. El Teorema del Valor Intermedio, por ejemplo, requiere continuidad en un intervalo. La derivabilidad es todavía más fuerte: si una función es derivable en un punto, entonces debe ser continua allí.

Fuera de los enunciados de teoremas, la continuidad te ayuda a decidir si la sustitución es válida, si una gráfica tiene una ruptura real y si un modelo cambia de forma gradual o repentina.

Prueba un ejercicio parecido

Prueba tu propia versión con una función definida a trozos en el punto de unión. Calcula por separado el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor real de la función. Si quieres dar el siguiente paso, estudia los límites y observa que la continuidad es justamente el momento en que el límite y el valor de la función coinciden.