연속성 — 정의, 종류와 예시

함수는 $x=a$에서, $a$에서의 함수값이 $a$ 근처에서 함수가 가까워지는 값과 같을 때 연속이라고 합니다. 미적분의 말로 쓰면, 한 점에서의 연속은 $f(a)$가 존재하고, $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재하며, 이 두 값이 서로 같다는 뜻입니다.

조건으로 쓰면 다음과 같습니다.

$$f(a) \text{ is defined}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) \text{ exists}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$

이 조건 중 하나라도 성립하지 않으면, 그 함수는 그 점에서 연속이 아닙니다.

쉬운 말로 보는 연속의 정의

연속은 흔히 "연필을 떼지 않고 그래프를 그릴 수 있다"라고 설명됩니다. 이 비유는 도움이 되지만, 실제 정의는 가까운 입력값과 출력값의 관계에 관한 것입니다.

$x$가 $a$에 가까워질수록 $f(x)$도 실제 함수값 $f(a)$에 가까워져야 합니다. 그래서 연속은 극한과 함수값 둘 다에 달려 있습니다. 그래프가 거의 이어져 보이더라도, 그 점에 구멍이나 점프가 있으면 정의를 만족하지 못할 수 있습니다.

한 점에서 연속인지 확인하는 방법

대부분의 문제는 같은 점검 목록으로 정리됩니다.

1. $f(a)$가 정의되어 있는지 확인합니다.
2. $\lim_{x \to a} f(x)$를 구합니다.
3. 좌극한과 우극한이 다르면 거기서 멈춥니다. 그 함수는 그 점에서 연속이 아닙니다.
4. 극한이 존재하면, 그 값을 $f(a)$와 비교합니다.

이것이 정의를 실제로 적용하는 형태입니다. 다항함수는 모든 실수 $x$에서 연속이므로 보통 바로 판단할 수 있습니다. 유리함수는 분모가 0이 되는 값에서 문제가 생길 가능성이 큽니다.

한 점에서의 연속, 구간에서의 연속, 한쪽 연속

많은 수업에서 "연속의 종류"라고 하면, 연속을 검사하는 상황을 뜻하기도 합니다.

한 점에서의 연속은 $x=2$처럼 특정한 한 값에서 정의가 성립하는 것을 말합니다.

구간에서의 연속은 그 구간의 모든 점에서 함수가 연속이라는 뜻입니다. 닫힌구간 $[a,b]$에서는 양 끝점을 한쪽 극한으로 확인합니다.

한쪽 연속은 끝점이나 조각별 함수의 경계에서 중요합니다. 예를 들어 $a$에서의 우연속은 $\lim_{x \to a^+} f(x)$를 사용합니다.

또한 "종류"라는 말을 연속이 깨지는 대표적인 방식, 즉 제거 가능 불연속, 점프 불연속, 무한 불연속을 가리키는 데 쓰기도 합니다.

불연속의 종류

제거 가능 불연속은 극한은 존재하지만 함수값이 없거나 그 값이 극한과 일치하지 않을 때 생깁니다. 그래프에 뚫린 구멍이 있는 전형적인 경우입니다.

점프 불연속은 좌극한과 우극한이 둘 다 존재하지만 서로 다를 때 생깁니다.

무한 불연속은 그 점 근처에서 함수값이 한없이 커지거나 작아져서 유한한 극한이 존재하지 않을 때 생깁니다.

이런 구분은 중요합니다. 모든 끊김이 같은 방식으로 나타나는 것은 아니기 때문입니다. 구멍은 함수값 하나를 다시 정의해서 메울 수 있는 경우가 있지만, 점프나 수직점근선은 그런 방식으로 고칠 수 없습니다.

예제: 이 함수는 $x=1$에서 연속일까?

다음을 보겠습니다.

$$f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & x \ne 1 \\ 2, & x=1 \end{cases}$$

우리는 $x=1$에서의 연속성을 확인하려고 합니다.

먼저 함수값을 확인합니다. 두 번째 줄이 그 점의 값을 정하므로,

$$f(1)=2.$$

이제 극한을 구합니다. $x \ne 1$일 때,

$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$

따라서 $x=1$ 근처에서 이 함수는 $x+1$처럼 행동하므로,

$$\lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1} (x+1)=2.$$

극한이 존재하고, 그 값은 함수값과 같습니다.

$$\lim_{x \to 1} f(x)=f(1)=2.$$

따라서 이 함수는 $x=1$에서 연속입니다.

이 예시는 핵심 조건을 분명하게 보여줍니다. 구멍을 메우는 것은 극한이 가까워지는 값과 같은 값으로 채울 때만 가능합니다. 여기서는 조각별 정의가 $f(1)=2$로 정해져 있고, 이 값이 극한과 같으므로 함수는 $x=1$에서 연속입니다.

연속성 판별에서 자주 하는 실수

1. $f(a)$가 존재하는지만 확인하는 것. 값이 정의되어 있다는 사실만으로는 연속이 보장되지 않습니다.
2. 극한만 확인하는 것. 극한이 존재해도 함수값이 다르거나 아예 없을 수 있습니다.
3. 조각별 함수에서 한쪽 극한을 잊는 것. 양쪽 값이 다르면 그 점에서 연속이 아닙니다.
4. 익숙해 보이는 식은 어디서나 연속이라고 가정하는 것. 유리함수는 분모가 0인 곳에서 연속이 깨질 수 있습니다.

미적분에서 연속이 쓰이는 때

연속은 미적분의 중요한 결과들에서 자주 가정되기 때문에 중요합니다. 예를 들어 중간값 정리는 어떤 구간에서의 연속을 필요로 합니다. 미분 가능성은 이보다 더 강한 조건이라서, 함수가 한 점에서 미분 가능하면 그 점에서 반드시 연속입니다.

정리의 조건을 넘어서도 연속은 유용합니다. 대입이 가능한지, 그래프에 실제 끊김이 있는지, 모델이 점진적으로 변하는지 갑자기 변하는지를 판단하는 데 도움을 줍니다.

비슷한 문제를 직접 해보기

경계점에서 정의된 조각별 함수로 직접 비슷한 문제를 풀어 보세요. 좌극한, 우극한, 실제 함수값을 각각 따로 계산해 보세요. 다음 단계로 나아가고 싶다면 극한을 더 공부해 보세요. 그러면 연속이란 결국 극한과 함수값이 일치하는 순간이라는 점이 보일 것입니다.