Continuità — definizione, tipi ed esempi

Una funzione è continua in $x=a$ quando il valore nel punto $a$ coincide con il valore a cui la funzione tende nelle vicinanze di $a$. In termini di analisi, la continuità in un punto significa che $f(a)$ esiste, $\lim_{x \to a} f(x)$ esiste, e questi due valori sono uguali.

Scritta come insieme di condizioni:

$$f(a) \text{ is defined}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) \text{ exists}, \qquad \lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$

Se anche una sola condizione non è soddisfatta, la funzione non è continua in quel punto.

Definizione di continuità in parole semplici

Potresti sentire descrivere la continuità come la possibilità di "disegnare il grafico senza staccare la matita dal foglio". Questa immagine aiuta, ma la definizione vera riguarda gli input e gli output vicini.

Se $x$ si avvicina ad $a$, allora $f(x)$ dovrebbe avvicinarsi al valore effettivo $f(a)$. Per questo la continuità dipende sia dal limite sia dal valore della funzione. Un grafico può sembrare quasi collegato e comunque non soddisfare la definizione se nel punto c'è un buco o un salto.

Come verificare la continuità in un punto

La maggior parte degli esercizi si riduce alla stessa lista di controllo.

1. Assicurati che $f(a)$ sia definita.
2. Calcola $\lim_{x \to a} f(x)$.
3. Se il limite sinistro e il limite destro sono diversi, fermati: la funzione non è continua in quel punto.
4. Se il limite esiste, confrontalo con $f(a)$.

Questa è la forma pratica della definizione. Per i polinomi, il controllo è di solito immediato perché sono continui per ogni $x$ reale. Per le funzioni razionali, i punti critici più probabili sono i valori che annullano il denominatore.

Continuità in un punto, in un intervallo e da un lato

In molti corsi, con "tipi di continuità" si intende il contesto in cui la si verifica.

La continuità in un punto significa che la definizione vale per un valore specifico, come $x=2$.

La continuità in un intervallo significa che la funzione è continua in ogni punto di quell'intervallo. In un intervallo chiuso $[a,b]$, gli estremi si controllano con limiti unilateri.

La continuità unilatera è importante agli estremi o nei punti di raccordo di una funzione definita a tratti. Per esempio, la continuità da destra in $a$ usa $\lim_{x \to a^+} f(x)$.

Troverai anche l'espressione "tipi" usata per indicare i modi più comuni in cui la continuità fallisce: discontinuità eliminabile, di salto e infinita.

Tipi di discontinuità

Una discontinuità eliminabile si ha quando il limite esiste ma il valore della funzione manca oppure non coincide con esso. È il classico buco nel grafico.

Una discontinuità di salto si ha quando il limite sinistro e il limite destro esistono entrambi, ma sono diversi.

Una discontinuità infinita si ha quando la funzione cresce senza limite vicino al punto, quindi lì non esiste un limite finito.

Queste distinzioni contano perché non tutte le interruzioni si comportano allo stesso modo. Un buco a volte si può correggere ridefinendo un solo valore. Un salto o un asintoto verticale non si possono sistemare in questo modo.

Esempio svolto: questa funzione è continua in $x=1$?

Considera

$$f(x)= \begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1}, & x \ne 1 \\ 2, & x=1 \end{cases}$$

Vogliamo verificare la continuità in $x=1$.

Per prima cosa controlliamo il valore della funzione. Poiché la seconda riga definisce il punto,

$$f(1)=2.$$

Ora calcoliamo il limite. Per $x \ne 1$,

$$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1.$$

Quindi vicino a $x=1$ la funzione si comporta come $x+1$, da cui segue

$$\lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{x \to 1} (x+1)=2.$$

Il limite esiste e coincide con il valore della funzione:

$$\lim_{x \to 1} f(x)=f(1)=2.$$

Quindi la funzione è continua in $x=1$.

Questo esempio mostra chiaramente la condizione fondamentale: correggere un buco funziona solo se lo riempi con lo stesso valore a cui tende il limite. Qui la definizione a tratti pone $f(1)=2$, che coincide con il limite, quindi la funzione è continua in $x=1$.

Errori comuni nel verificare la continuità

1. Controllare solo se $f(a)$ esiste. Il solo fatto che il valore sia definito non garantisce la continuità.
2. Controllare solo il limite. Il limite può esistere anche quando il valore della funzione è diverso o manca.
3. Dimenticare i limiti unilateri per le funzioni definite a tratti. Se i due lati non coincidono, la funzione non è continua in quel punto.
4. Supporre che ogni formula dall'aspetto familiare sia continua ovunque. Le funzioni razionali possono non esserlo dove il denominatore è zero.

Quando si usa la continuità in analisi

La continuità è importante perché molti risultati fondamentali dell'analisi la richiedono. Il teorema dei valori intermedi, per esempio, richiede la continuità su un intervallo. La derivabilità è una proprietà ancora più forte: se una funzione è derivabile in un punto, allora deve essere continua in quel punto.

Al di fuori degli enunciati dei teoremi, la continuità ti aiuta a capire se la sostituzione è lecita, se un grafico ha una vera interruzione e se un modello cambia in modo graduale oppure improvviso.

Prova un esercizio simile

Prova una tua versione con una funzione definita a tratti nel punto di raccordo. Calcola separatamente il limite sinistro, il limite destro e il valore effettivo della funzione. Se vuoi fare il passo successivo, studia i limiti e nota che la continuità è proprio il momento in cui il limite e il valore della funzione coincidono.