Drehimpuls

Der Drehimpuls gibt an, wie viel Rotationsbewegung ein Objekt um einen gewählten Punkt oder eine Achse hat. Wenn du nach der Drehimpulsformel gesucht hast, sind die zwei wichtigsten Formen $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ für ein Teilchen und $L = I\omega$ für einen starren Körper, der sich um eine feste Achse dreht.

Für ein einzelnes Teilchen lautet die allgemeine Definition

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$$

wobei $\vec{r}$ vom Bezugspunkt zum Teilchen zeigt und $\vec{p} = m\vec{v}$ der lineare Impuls ist.

Als Betrag gilt

$$L = rp\sin\theta$$

Der Drehimpuls wird also größer, wenn die Masse größer ist, die Geschwindigkeit größer ist, der Abstand von der Achse größer ist oder die Bewegung stärker senkrecht zum Radius verläuft. Zeigt die Bewegung direkt auf den Bezugspunkt zu oder von ihm weg, dann ist $\sin\theta = 0$ und der Drehimpuls bezüglich dieses Punkts ist null.

Was Drehimpuls anschaulich bedeutet

Drehimpuls ist nicht einfach nur „schnelles Drehen“. Er misst, wie stark eine Bewegung mit einer Drehung um einen bestimmten Punkt oder eine bestimmte Achse verknüpft ist.

Dieser Bezugspunkt ist wichtig. Dasselbe bewegte Objekt kann bezüglich verschiedener Punkte unterschiedliche Drehimpulswerte haben. Das ist eines der Details, die man leicht übersieht, und deshalb geben viele Aufgaben von Anfang an genau an, welche Achse oder welchen Ursprung du verwenden sollst.

Für einen starren Körper, der sich um eine feste Achse dreht, verwendet man oft

$$L = I\omega$$

wobei $I$ das Trägheitsmoment und $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit ist. Diese Form ist nur unter der Bedingung eines starren Körpers mit fester Drehachse nützlich. Sie ist nicht die allgemeine Definition für jede Situation.

Drehimpulsformel: Wodurch er sich ändert

Aus $L = rp\sin\theta$ erkennt man die vier wichtigsten Einflussgrößen:

• Mehr Masse bedeutet mehr Drehimpuls.
• Mehr Geschwindigkeit bedeutet mehr Drehimpuls.
• Ein größerer Abstand vom Bezugspunkt bedeutet mehr Drehimpuls.
• Ein größerer Winkel zwischen $\vec{r}$ und $\vec{p}$ bedeutet mehr Drehimpuls, bis zu $90^\circ$.

Die Kurzform $L = mvr$ gilt nur, wenn die Bewegung senkrecht zum Radius ist. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, musst du den Faktor $\sin\theta$ beibehalten.

Durchgerechnetes Beispiel: Ein Ball bewegt sich tangential

Ein Ball mit $0.20\ \mathrm{kg}$ bewegt sich mit $6.0\ \mathrm{m/s}$ entlang einer Bahn, die tangential zu einem Kreis mit Radius $0.50\ \mathrm{m}$ verläuft, dessen Mittelpunkt in einem gewählten Ursprung liegt. Bestimme den Betrag seines Drehimpulses bezüglich dieses Ursprungs.

Da die Geschwindigkeit tangential zum Kreis ist, steht sie senkrecht auf dem Radius. Damit ist $\theta = 90^\circ$, also $\sin\theta = 1$, und für den Betrag gilt

$$L = mvr$$

Setze nun die Werte ein:

$$L = (0.20)(6.0)(0.50) = 0.60\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

Der Betrag des Drehimpulses des Balls bezüglich dieses Ursprungs ist also

$$0.60\ \mathrm{kg \cdot m^2/s}$$

Würde sich der Ball entlang derselben Tangente bewegen, du aber einen anderen Ursprung wählen, könnte sich das Ergebnis ändern. Das ist die wichtigste Aussage dieses Beispiels, nicht nur die Rechnung.

Häufige Fehler bei Drehimpulsaufgaben

$L = mvr$ in jeder Aufgabe verwenden

Diese Kurzform funktioniert nur, wenn der Impuls senkrecht zum Radius steht. Im allgemeinen Fall verwendest du $L = rp\sin\theta$.

Vergessen, den Bezugspunkt anzugeben

Drehimpuls ist immer bezüglich eines Punkts oder einer Achse definiert. Ohne diesen Bezug ist die Aussage unvollständig.

Drehimpuls nur als Zahl behandeln

Drehimpuls ist eine Vektorgröße. In vielen Einführungsaufgaben brauchst du nur den Betrag, aber in der vollständigen Definition spielt die Richtung trotzdem eine Rolle.

Zu früh Erhaltung annehmen

Der Drehimpuls ist nur dann erhalten, wenn das resultierende äußere Drehmoment bezüglich desselben Punkts oder derselben Achse null ist. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann sich der Drehimpuls ändern.

Wo Drehimpuls verwendet wird

Drehimpuls taucht bei Bahnbewegungen, rotierenden Rädern, Gyroskopen, rotierenden Maschinen und bei Eiskunstläufer-Beispielen auf, bei denen das Heranziehen von Masse die Rotationsgeschwindigkeit verändert.

Er ist besonders nützlich, wenn sich die Erhaltung leichter anwenden lässt als eine Analyse Kraft für Kraft. Ein klassischer Fall ist ein System, das seine Form intern verändert, während das äußere Drehmoment vernachlässigbar klein bleibt.

Wie Drehmoment den Drehimpuls verändert

Das Drehmoment gibt an, wie sich der Drehimpuls ändert:

$$\vec{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{d\vec{L}}{dt}$$

Ist das resultierende äußere Drehmoment null, dann gilt $d\vec{L}/dt = 0$, also ist der Drehimpuls erhalten. Das ist die klare Verbindung zwischen Rotationsdynamik und den Erhaltungssätzen der Rotation.

Probiere eine ähnliche Drehimpulsaufgabe

Behalte denselben Ball und denselben Radius bei, aber reduziere die Geschwindigkeit von $6.0\ \mathrm{m/s}$ auf $3.0\ \mathrm{m/s}$. Lass dann die Geschwindigkeit bei $6.0\ \mathrm{m/s}$ und verdopple den Radius auf $1.0\ \mathrm{m}$. Der Vergleich dieser beiden Fälle zeigt schnell, was den Drehimpuls verändert und um wie viel.

Wenn du Schritt-für-Schritt-Feedback zu deinen eigenen Zahlen möchtest, probiere deine eigene Variante im GPAI Solver aus und vergleiche sie mit dem hier durchgerechneten Beispiel.