集合論 — 定義・演算・ベン図

集合論は、集合と呼ばれる対象の集まりを扱う分野です。学校数学の問題では、要素、部分集合、和集合、共通部分、差集合、そして全体集合に対する補集合が基本になります。

少し抽象的に聞こえるなら、ものをグループ分けして、その重なりを追う場面を思い浮かべてください。だからこそ集合論やベン図は、場合の数、論理、確率でよく使われます。

集合論の定義：要素、所属、部分集合

$A = \{2,4,6,8\}$ なら、数 $4$ は $A$ の要素で、 $4 \in A$ と書きます。数 $5$ は $A$ の要素ではないので、 $5 \notin A$ と書きます。

部分集合とは、ある集合のすべての要素が別の集合にも含まれている集合です。 $B = \{2,4\}$ なら、 $B$ のすべての要素は $A$ にも入っているので、 $B \subseteq A$ です。

集合の等しさは、順番ではなく中身で決まります。 $\{1,2,3\}$ と $\{3,2,1\}$ は、同じ要素を含むので等しい集合です。

2つの集合 $A$ と $B$ に対して、よく使う演算は次のとおりです。

最後の条件は重要です。補集合は絶対的なものではありません。全体集合が変われば、補集合も変わります。

ベン図は、集合を領域として表した図で、ふつうは全体集合を表す長方形の中に円を描きます。重なっている部分が共通部分です。2つの円を合わせた全体の領域が和集合です。

ここが大切なのは、多くのミスが次の3つの領域を混同することから起こるからです。

最初にこれらの領域を分けて考えると、どの演算を使うべきかが見えやすくなります。

次のようにします。

A = \{1,2,3,4\}, \qquad B = \{3,4,5,6\}

また、全体集合を

U = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}

とします。

まず重なりを見ます。両方の集合にある要素は $3$ と $4$ なので、

A \cap B = \{3,4\}

次に、どちらかの集合に現れる要素をすべて集めると、

A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}

次に、 $A$ から $B$ にもある要素を取り除きます。すると、

A \setminus B = \{1,2\}

$A$ の補集合は、全体集合の中で $A$ に入っていないものを取るので、

A^c = \{5,6,7,8\}

ベン図で表すと、 $3$ と $4$ は重なりの部分に入り、 $1$ と $2$ は $A$ の円だけ、 $5$ と $6$ は $B$ の円だけに入ります。 $7$ と $8$ はどちらの円にも入らず、 $U$ を表す長方形の中に残ります。

次のような言い回しは、使う演算の手がかりになります。

多くの場合、これだけで計算する前に適切な演算を選べます。

和集合と共通部分を混同する。 和集合はどちらか一方に入るものをすべて含みます。共通部分は重なっている部分だけです。2つのグループに共通するものを問われているなら、和集合では広すぎます。

補集合で全体集合を忘れる。 $U$ を示さずに $A^c$ と書くと意味が不完全です。補集合は、どの全体の中で考えるかに依存するからです。

要素の記号と部分集合の記号を混同する。 $3 \in A$ は1つの要素について述べています。 $\{3\} \subseteq A$ は、その要素を含む集合について述べています。関係はありますが、同じ意味ではありません。

共通する要素を二重に数える。 2つの集合が重なっているとき、それぞれの大きさをそのまま足すと重なりを2回数えてしまいます。その場合は、

|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

となります。この公式が、場合の数や確率の問題でベン図が役立つ理由の1つです。

集合論は、確率、論理、データベース、そして高等数学のほぼすべての分野に現れます。学校数学では、分類を整理したいとき、重なりを追いたいとき、結果を正確に数えたいときに特に役立ちます。

確率の問題で、スポーツをする生徒、話せる言語、共通の性質をもつ結果などが出てきたら、集合で図にするのが最短の考え方になることがよくあります。

たとえば、 $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ の中で、 $2$ の倍数の集合と $3$ の倍数の集合という2つの小さな集合を考えてみましょう。和集合、共通部分、差集合、補集合を求めてから、ベン図を描き、各数が正しい領域に入っているか確かめてみてください。

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