Oằn cột - Công thức Euler

Công thức Euler cho biết tải trọng lý tưởng tại đó một cột mảnh bị oằn ngang khi chịu nén:

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$$

Chỉ dùng công thức này nếu cột đủ mảnh để oằn đàn hồi xảy ra trước khi chảy dẻo, và tải trọng gần với tải dọc trục. Nếu cột ngắn, đã bị cong sẵn, hoặc làm việc sâu trong miền phi đàn hồi, thì riêng công thức Euler không còn là mô hình phù hợp.

Một cách hữu ích để hiểu hiện tượng oằn cột là thế này: cột không phá hỏng vì vật liệu bị ép nát trước. Nó phá hỏng vì dạng thẳng ban đầu trở nên mất ổn định.

Ý nghĩa của công thức oằn Euler

$E$ là mô đun Young, nên nó đo độ cứng của vật liệu. $I$ là mô men quán tính tiết diện bậc hai quanh trục uốn, nên nó cho biết tiết diện chống uốn tốt đến mức nào. $K L$ là chiều dài hữu hiệu, có tính đến cách hai đầu cột bị liên kết.

Điểm quan trọng nhất trong công thức nằm ở mẫu số. Tải trọng oằn phụ thuộc vào $(K L)^2$, nên chiều dài và điều kiện liên kết có ảnh hưởng rất lớn. Một cột có liên kết đầu tốt hơn có thể chịu tải nén lớn hơn nhiều trước khi oằn, ngay cả khi vật liệu và tiết diện không đổi.

Với các điều kiện liên kết lý tưởng thường gặp:

• khớp-khớp: $K = 1$
• ngàm-ngàm: $K = 0.5$
• ngàm-tự do: $K = 2$
• ngàm-khớp: $K \approx 0.7$

Đây là các giá trị lý tưởng hóa, nhưng chúng cho thấy vì sao liên kết đầu cột lại quan trọng đến vậy.

Vì sao cột dài rất dễ bị oằn

Oằn là một giới hạn mất ổn định, không phải giới hạn ép nát thông thường. Trong mô hình Euler lý tưởng, một độ lệch ngang rất nhỏ có thể tăng nhanh khi tải trọng đạt đến giá trị tới hạn.

Dạng tỉ lệ nghịch với bình phương là điều cần nhớ:

$$P_{cr} \propto \frac{1}{(K L)^2}$$

Nếu chiều dài hữu hiệu tăng gấp đôi trong khi mọi yếu tố khác giữ nguyên, thì tải trọng tới hạn Euler sẽ giảm đi bốn lần.

Khi nào công thức Euler áp dụng được

Công thức oằn Euler hữu ích nhất khi các điều kiện sau đúng ở mức hợp lý:

• cấu kiện là cột mảnh chứ không phải cột ngắn và bè
• vật liệu vẫn đang làm việc trong miền đàn hồi
• tải trọng chủ yếu là tải dọc trục, không lệch tâm lớn
• cột đủ thẳng để mô hình lý tưởng vẫn còn có ý nghĩa

Trong thực tế, kỹ sư thường kiểm tra độ mảnh bằng các tỉ số như $K L / r$, trong đó $r$ là bán kính quán tính. Ngưỡng chính xác phụ thuộc vào vật liệu và phương pháp thiết kế, nên không có một giới hạn chung duy nhất cho mọi bài toán.

Ví dụ giải: tải trọng tới hạn Euler

Xét một cột thép có hai đầu khớp, nên $K = 1$. Cho

• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 8.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$
• $L = 3.0\ \mathrm{m}$

Với hai đầu khớp, chiều dài hữu hiệu là

$$K L = 1 \cdot 3.0 = 3.0\ \mathrm{m}$$

Bây giờ áp dụng công thức Euler:

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$$ $$P_{cr} = \frac{\pi^2 (200 \times 10^9)(8.0 \times 10^{-6})}{(3.0)^2}$$

Trước hết rút gọn phần độ cứng:

$$E I = (200 \times 10^9)(8.0 \times 10^{-6}) = 1.6 \times 10^6\ \mathrm{N \cdot m^2}$$

Khi đó

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 (1.6 \times 10^6)}{9} \approx 1.75 \times 10^6\ \mathrm{N}$$

Vậy tải trọng tới hạn Euler lý tưởng xấp xỉ

$$1.75\ \mathrm{MN}$$

Con số đó là ngưỡng mất ổn định đàn hồi cho trường hợp lý tưởng hóa này. Trong thiết kế, tải trọng cho phép sẽ nhỏ hơn vì cột thực có sai lệch hình học, ứng suất dư, độ không chắc chắn và các yêu cầu an toàn.

Những lỗi thường gặp trong bài toán oằn Euler

Dùng công thức Euler cho mọi cột

Công thức Euler không phải là công thức nén dùng cho mọi trường hợp. Nó hữu ích nhất với các cột mảnh mà oằn đàn hồi là cơ chế chi phối. Các cột ngắn hơn có thể phá hỏng do chảy dẻo, ép nát hoặc oằn phi đàn hồi.

Quên chiều dài hữu hiệu

Tải trọng phụ thuộc vào $(K L)^2$, không chỉ $L^2$. Một cột ngàm-ngàm và một cột khớp-khớp có cùng chiều dài thực sẽ không có cùng tải trọng Euler.

Dùng sai $I$

Với các tiết diện không đối xứng hoặc không vuông, cột có xu hướng oằn quanh trục yếu hơn. Điều đó có nghĩa là mô men quán tính tiết diện bậc hai nhỏ hơn tương ứng thường là giá trị chi phối.

Xem $P_{cr}$ như tải trọng làm việc an toàn

Kết quả Euler là tải trọng tới hạn lý tưởng, không phải tải trọng thiết kế cuối cùng. Hệ số an toàn và các kiểm tra theo tiêu chuẩn phải được xét sau đó.

Oằn cột được dùng ở đâu

Lý thuyết oằn Euler được dùng để hiểu các cấu kiện chịu nén mảnh như cột, thanh chống, thanh giàn, chi tiết máy và các bộ phận khung. Nó đặc biệt hữu ích ở giai đoạn phân tích ban đầu vì cho thấy yếu tố nào quan trọng nhất: liên kết đầu, chiều dài, độ cứng vật liệu và độ cứng uốn của tiết diện.

Nó cũng giải thích vì sao việc làm cấu kiện ngắn hơn hoặc bố trí giằng ngang có thể làm tăng tải trọng oằn hiệu quả hơn nhiều so với chỉ tăng cường độ vật liệu.

Thử một bài tương tự

Giữ nguyên cột như trên, nhưng chỉ đổi chiều dài từ $3.0\ \mathrm{m}$ thành $6.0\ \mathrm{m}$. Vì tải trọng Euler tỉ lệ theo $1/L^2$ trong trường hợp khớp-khớp, nên tải trọng tới hạn sẽ chỉ còn một phần tư giá trị ban đầu. Hãy tự thử với một điều kiện liên kết khác và so sánh xem chiều dài hữu hiệu làm thay đổi kết quả như thế nào.