การโก่งเดาะของเสา - สูตรออยเลอร์

สูตรออยเลอร์ให้ค่าแรงในอุดมคติที่ทำให้เสาเรียวโก่งออกด้านข้างภายใต้แรงอัด:

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$$

ใช้สูตรนี้เฉพาะเมื่อเสามีความเรียวมากพอจนเกิดการโก่งเดาะเชิงยืดหยุ่นก่อนการคราก และแรงที่กระทำใกล้เคียงกับแรงตามแนวแกน หากเสาสั้น โค้งอยู่แล้ว หรือถูกกดจนเข้าสู่พฤติกรรมไม่ยืดหยุ่นมาก สูตรออยเลอร์เพียงอย่างเดียวจะไม่ใช่แบบจำลองที่เหมาะสมอีกต่อไป

วิธีคิดที่มีประโยชน์เกี่ยวกับการโก่งเดาะของเสาคือ เสาไม่ได้วิบัติเพราะวัสดุถูกบดอัดก่อน แต่เกิดจากรูปทรงตรงเดิมสูญเสียเสถียรภาพ

สูตรการโก่งเดาะของออยเลอร์หมายถึงอะไร

$E$ คือมอดูลัสของยัง จึงเป็นตัววัดความแข็งของวัสดุ ส่วน $I$ คือโมเมนต์ความเฉื่อยอันดับสองของพื้นที่หน้าตัดรอบแกนดัด จึงบอกว่าหน้าตัดต้านการดัดได้ยากแค่ไหน และ $K L$ คือความยาวประสิทธิผล ซึ่งคำนึงถึงการยึดรั้งที่ปลายทั้งสอง

ใจความสำคัญที่สุดของสูตรอยู่ที่ตัวส่วน แรงโก่งเดาะขึ้นกับ $(K L)^2$ ดังนั้นความยาวและสภาพรองรับที่ปลายจึงมีผลมาก เสาที่มีการยึดรั้งปลายดีกว่าสามารถรับแรงอัดได้มากกว่าก่อนโก่งเดาะ แม้ว่าวัสดุและหน้าตัดจะเหมือนเดิมก็ตาม

สำหรับสภาพรองรับปลายในอุดมคติที่พบบ่อย:

• หมุนได้-หมุนได้: $K = 1$
• ยึดแน่น-ยึดแน่น: $K = 0.5$
• ยึดแน่น-อิสระ: $K = 2$
• ยึดแน่น-หมุนได้: $K \approx 0.7$

ค่าเหล่านี้เป็นค่าอุดมคติ แต่ช่วยให้เห็นชัดว่าการยึดรั้งที่ปลายสำคัญมากเพียงใด

ทำไมเสาที่ยาวจึงโก่งเดาะได้ง่าย

การโก่งเดาะเป็นขีดจำกัดจากความไม่เสถียร ไม่ใช่ขีดจำกัดการบดอัดแบบทั่วไป ในแบบจำลองออยเลอร์อุดมคติ การโก่งออกด้านข้างเพียงเล็กน้อยสามารถเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อแรงถึงค่าวิกฤต

รูปแบบแปรผกผันกับกำลังสองคือส่วนที่ควรจำ:

$$P_{cr} \propto \frac{1}{(K L)^2}$$

ถ้าความยาวประสิทธิผลเพิ่มเป็นสองเท่า โดยที่อย่างอื่นคงเดิม แรงวิกฤตตามออยเลอร์จะลดลงเหลือหนึ่งในสี่

เมื่อใดที่สูตรออยเลอร์ใช้ได้

การโก่งเดาะแบบออยเลอร์มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงพอสมควร:

• ชิ้นส่วนมีความเรียว ไม่ใช่สั้นและอ้วนตัน
• วัสดุยังคงมีพฤติกรรมเชิงยืดหยุ่น
• แรงที่กระทำส่วนใหญ่เป็นแรงตามแนวแกน ไม่เยื้องศูนย์มาก
• เสายังตรงพอที่แบบจำลองอุดมคติยังให้ข้อมูลที่มีประโยชน์

ในทางปฏิบัติ วิศวกรมักตรวจสอบความเรียวด้วยอัตราส่วน เช่น $K L / r$ โดยที่ $r$ คือรัศมีไจเรชัน ค่าขีดแบ่งที่แน่นอนขึ้นอยู่กับวัสดุและวิธีออกแบบ จึงไม่มีเกณฑ์สากลเพียงค่าเดียวสำหรับทุกปัญหา

ตัวอย่างคำนวณ: แรงวิกฤตตามออยเลอร์

พิจารณาเสาเหล็กที่ปลายทั้งสองเป็นแบบหมุนได้-หมุนได้ ดังนั้น $K = 1$ กำหนดให้

• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 8.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$
• $L = 3.0\ \mathrm{m}$

สำหรับปลายแบบหมุนได้-หมุนได้ ความยาวประสิทธิผลคือ

$$K L = 1 \cdot 3.0 = 3.0\ \mathrm{m}$$

จากนั้นใช้สูตรออยเลอร์:

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$$ $$P_{cr} = \frac{\pi^2 (200 \times 10^9)(8.0 \times 10^{-6})}{(3.0)^2}$$

เริ่มจากจัดรูปส่วนความแข็งก่อน:

$$E I = (200 \times 10^9)(8.0 \times 10^{-6}) = 1.6 \times 10^6\ \mathrm{N \cdot m^2}$$

ดังนั้น

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 (1.6 \times 10^6)}{9} \approx 1.75 \times 10^6\ \mathrm{N}$$

ดังนั้นแรงวิกฤตตามออยเลอร์ในอุดมคติมีค่าประมาณ

$$1.75\ \mathrm{MN}$$

ค่านี้เป็นเกณฑ์ความไม่เสถียรเชิงยืดหยุ่นสำหรับกรณีอุดมคตินี้ ในการออกแบบ แรงที่ยอมให้ได้จะต่ำกว่านี้ เพราะเสาจริงมีความไม่สมบูรณ์ ความเค้นตกค้าง ความไม่แน่นอน และข้อกำหนดด้านความปลอดภัย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในโจทย์การโก่งเดาะแบบออยเลอร์

ใช้สูตรออยเลอร์กับเสาทุกต้น

สูตรออยเลอร์ไม่ใช่สูตรแรงอัดที่ใช้ได้กับทุกกรณี มีประโยชน์ที่สุดสำหรับเสาเรียวที่การโก่งเดาะเชิงยืดหยุ่นเป็นตัวควบคุม ส่วนเสาที่สั้นกว่าอาจวิบัติด้วยการคราก การบดอัด หรือการโก่งเดาะแบบไม่ยืดหยุ่นแทน

ลืมความยาวประสิทธิผล

แรงขึ้นกับ $(K L)^2$ ไม่ใช่แค่ $L^2$ เสาแบบยึดแน่น-ยึดแน่นกับเสาแบบหมุนได้-หมุนได้ที่มีความยาวจริงเท่ากัน จึงไม่ได้มีแรงตามออยเลอร์เท่ากัน

ใช้ค่า $I$ ผิด

สำหรับหน้าตัดที่ไม่สมมาตรหรือไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เสามักโก่งเดาะรอบแกนที่อ่อนกว่า นั่นหมายความว่าโมเมนต์ความเฉื่อยอันดับสองของพื้นที่หน้าตัดที่มีค่าน้อยกว่าและเกี่ยวข้องกับแกนนั้น มักเป็นค่าที่ควบคุม

มองว่า $P_{cr}$ เป็นแรงใช้งานที่ปลอดภัย

ผลจากสูตรออยเลอร์เป็นแรงวิกฤตในอุดมคติ ไม่ใช่แรงออกแบบสุดท้าย การใช้ตัวประกอบความปลอดภัยและการตรวจสอบตามมาตรฐานต้องทำภายหลัง

การโก่งเดาะของเสาใช้ที่ไหนบ้าง

การโก่งเดาะแบบออยเลอร์ใช้เพื่อทำความเข้าใจชิ้นส่วนรับแรงอัดที่มีความเรียว เช่น เสา ค้ำยัน ชิ้นส่วนในโครงถัก องค์ประกอบของเครื่องจักร และชิ้นส่วนของโครงกรอบ มีประโยชน์อย่างยิ่งในช่วงต้นของการวิเคราะห์ เพราะแสดงให้เห็นว่าปัจจัยใดสำคัญที่สุด ได้แก่ การยึดรั้งที่ปลาย ความยาว ความแข็งของวัสดุ และความแข็งต้านการดัดของหน้าตัด

นอกจากนี้ยังอธิบายได้ว่าทำไมการทำให้ชิ้นส่วนสั้นลงหรือเพิ่มค้ำยันด้านข้าง จึงช่วยเพิ่มแรงโก่งเดาะได้มีประสิทธิภาพมากกว่าการเพิ่มกำลังของวัสดุเพียงอย่างเดียว

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ใช้เสาเดิม แต่เปลี่ยนเฉพาะความยาวจาก $3.0\ \mathrm{m}$ เป็น $6.0\ \mathrm{m}$ เนื่องจากแรงตามออยเลอร์แปรตาม $1/L^2$ สำหรับกรณีหมุนได้-หมุนได้ แรงวิกฤตจึงลดลงเหลือหนึ่งในสี่ของค่าเดิม ลองเปลี่ยนสภาพรองรับปลายเป็นแบบอื่นด้วยตัวเอง แล้วเปรียบเทียบว่าความยาวประสิทธิผลทำให้คำตอบเปลี่ยนไปอย่างไร