柱の座屈 - オイラーの公式

オイラーの公式は、細長い柱が圧縮を受けて横方向に座屈するときの理想的な荷重を与えます。

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$$

この公式を使えるのは、柱が十分に細長く、降伏より先に弾性座屈が起こり、荷重がほぼ軸方向に作用する場合に限られます。柱が短い、もともと曲がっている、あるいは非弾性域まで大きく押し込まれている場合には、オイラーの公式だけでは適切なモデルになりません。

柱の座屈を考えるうえで有用な見方は次のとおりです。柱は、まず材料が圧壊するから壊れるのではありません。まっすぐな形状が不安定になることで破壊に至るのです。

オイラーの座屈公式の意味

$E$ はヤング率で、材料の剛性を表します。$I$ は曲げ軸まわりの断面二次モーメントで、断面がどれだけ曲がりにくいかを表します。$K L$ は有効長で、端部がどのように拘束されているかを反映します。

この公式で最も重要なのは分母です。座屈荷重は $(K L)^2$ に依存するため、長さと端部条件の影響は非常に大きくなります。材料や断面が同じでも、端部拘束が強い柱は、座屈前により大きな圧縮荷重を支えられます。

代表的な理想端部条件では、次のようになります。

• ピン-ピン: $K = 1$
• 固定-固定: $K = 0.5$
• 固定-自由: $K = 2$
• 固定-ピン: $K \approx 0.7$

これらは理想化された値ですが、端部拘束がどれほど重要かをよく示しています。

なぜ長い柱は簡単に座屈するのか

座屈は通常の圧壊限界ではなく、不安定限界です。理想的なオイラーモデルでは、荷重が臨界値に達すると、ごく小さな横たわみでも急速に増大することがあります。

覚えておくべきなのは逆二乗の関係です。

$$P_{cr} \propto \frac{1}{(K L)^2}$$

他の条件が同じままで有効長が2倍になると、オイラーの臨界荷重は4分の1になります。

オイラーの公式が適用できる場合

オイラー座屈が特に有用なのは、次の条件がおおむね成り立つ場合です。

• 部材が短くて太いのではなく、細長い
• 材料がまだ弾性挙動をしている
• 荷重が主に軸方向であり、大きな偏心がない
• 柱が十分にまっすぐで、理想モデルがなお有効である

実務では、$r$ を断面二次半径として、$K L / r$ のような比で細長比を確認することがよくあります。正確なしきい値は材料や設計法によって異なるため、すべての問題に共通する単一の基準はありません。

計算例: オイラーの臨界荷重

両端ピン支持の鋼製柱を考え、$K = 1$ とします。次の値を与えます。

• $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{Pa}$
• $I = 8.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^4}$
• $L = 3.0\ \mathrm{m}$

両端ピン支持なので、有効長は

$$K L = 1 \cdot 3.0 = 3.0\ \mathrm{m}$$

となります。

次に、オイラーの公式を適用します。

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}$$ $$P_{cr} = \frac{\pi^2 (200 \times 10^9)(8.0 \times 10^{-6})}{(3.0)^2}$$

まず、剛性に関する部分を整理すると

$$E I = (200 \times 10^9)(8.0 \times 10^{-6}) = 1.6 \times 10^6\ \mathrm{N \cdot m^2}$$

したがって

$$P_{cr} = \frac{\pi^2 (1.6 \times 10^6)}{9} \approx 1.75 \times 10^6\ \mathrm{N}$$

よって、理想的なオイラーの臨界荷重はおよそ

$$1.75\ \mathrm{MN}$$

です。

この値は、この理想化された条件における弾性不安定のしきい値です。設計では、実際の柱には初期不整、残留応力、不確かさ、安全性の要求があるため、許容荷重はこれより小さくなります。

オイラー座屈の問題でよくあるミス

すべての柱にオイラーの公式を使う

オイラーの公式は万能な圧縮公式ではありません。これは、弾性座屈が支配する細長柱に対して最も有効です。より短い柱では、代わりに降伏、圧壊、または非弾性座屈で破壊することがあります。

有効長を忘れる

荷重は $L^2$ ではなく $(K L)^2$ に依存します。実長が同じでも、固定-固定の柱とピン-ピンの柱ではオイラー荷重は同じではありません。

間違った $I$ を使う

非対称断面や正方形でない断面では、柱は弱軸まわりに座屈しやすくなります。つまり、関係する小さいほうの断面二次モーメントが支配的になることが多いのです。

$P_{cr}$ を安全な使用荷重とみなす

オイラーの結果は理想的な臨界荷重であり、最終的な設計荷重ではありません。安全率や規準による照査はその後に行います。

柱の座屈はどこで使われるか

オイラー座屈は、柱、ストラット、トラス部材、機械要素、骨組み部材などの細長い圧縮部材を理解するために使われます。特に解析の初期段階で有用で、どの変更が最も効くかを示してくれます。つまり、端部拘束、長さ、材料剛性、断面の曲げ剛性です。

また、部材を短くしたり横方向にブレースを設けたりすることが、材料強度だけを上げるよりも、はるかに効果的に座屈荷重を高められる理由も説明できます。

類題に挑戦してみよう

同じ柱のままで、長さだけを $3.0\ \mathrm{m}$ から $6.0\ \mathrm{m}$ に変えてみてください。ピン-ピンの場合、オイラー荷重は $1/L^2$ に比例するので、臨界荷重は元の4分の1になります。端部条件も変えた自分なりの問題を試し、有効長によって答えがどう変わるか比べてみましょう。