Τύποι Άθροις Ακολουθιών

Οι πιο συνηθισμένοι τύποι άθροισης ακολουθιών χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: το άθροισμα των πρώτων $n$ όρων αριθμητικής ακολουθίας και το άθροισμα των πρώτων $n$ όρων γεωμετρικής ακολουθίας. Όταν λύνετε μια άσκηση, μην βιαστείτε να εφαρμόσετε τον τύπο· πρώτα προσδιορίστε τον κανόνα της ακολουθίας. Αν η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερή, χρησιμοποιήστε τον τύπο για αριθμητική ακολουθία. Αν ο λόγος μεταξύ δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερός, χρησιμοποιήστε τον τύπο για γεωμετρική ακολουθία.

Δείτε πρώτα αυτούς τους δύο τύπους

Το άθροισμα των πρώτων $n$ όρων μιας αριθμητικής ακολουθίας είναι:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Αν γνωρίζουμε τη διαφορά $d$, μπορεί επίσης να γραφτεί ως:

$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$

Το άθροισμα των πρώτων $n$ όρων μιας γεωμετρικής ακολουθίας, όταν $q \ne 1$, είναι:

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

Εδώ το $a_1$ είναι ο πρώτος όρος, το $a_n$ είναι ο $n$ όρος και το $q$ είναι ο λόγος. Ο τύπος της γεωμετρικής ακολουθίας συχνά γράφεται και ως:

$S_n = a_1 \frac{q^n-1}{q-1}$

Αυτοί οι δύο τρόποι γραφής είναι ισοδύναμοι, καθώς απλώς αλλάζουμε τα πρόσημα του αριθμητή και του παρονομαστή ταυτόχρονα.

Προσδιορίστε τον τύπο της ακολουθίας πριν την άθροιση

Όταν βλέπετε μια σειρά αριθμών, εξετάστε πρώτα τη σχέση μεταξύ δύο διαδοχικών όρων. Για παράδειγμα, στην ακολουθία $3, 7, 11, 15$, προσθέτουμε κάθε φορά $4$, οπότε είναι αριθμητική ακολουθία. Αντίθετα, στην ακολουθία $2, 6, 18, 54$, πολλαπλασιάζουμε κάθε φορά με $3$, οπότε είναι γεωμετρική ακολουθία.

Αυτό το βήμα είναι πιο σημαντικό από την απομνημόνευση των τύπων. Αν ταξείρετε τον τύπο της ακολουθίας, η επόμενη διαδικασία άθροισης συνήθως θα οδηγήσει σε λάθος αποτέλεσμα.

Γιατί ο τύπος άθροισης αριθμητικής ακολουθίας είναι τόσο λογικός

Οι αριθμητικές ακολουθίες είναι εύχρηστες επειδή, αν συζευξούμε τον πρώτο με τον τελευταίο όρο, το άθροισμα κάθε ζεύγους είναι το ίδιο. Έστω μια σειρά αριθμών από την αρχή προς το τέλος:

$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \dots,\ a_n$

Και την ίδια σειρά από το τέλος προς την αρχή:

$a_n,\ a_{n-1},\ a_{n-2},\ \dots,\ a_1$

Προσθέτοντας τις αντίστοιχες θέσεις, κάθε ζεύγος ισούται με $a_1 + a_n$. Επομένως, το διπλάσιο του αθροίσματος είναι:

$2S_n = n(a_1 + a_n)$

Άρα:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Αυτή είναι η πιο trực관ική προέλευση του τύπου άθροισης αριθμητικής ακολουθίας.

Παράδειγμα: Πρώτα βρίσκουμε τον αριθμό των όρων, μετά το άθροισμα των n όρων

Ζητείται το άθροισμα της αριθμητικής ακολουθίας $5, 8, 11, \dots, 32$.

Πρώτα προσδιορίζουμε τον τύπο. Οι διαδοχικοί όροι αυξάνονται κατά $3$, οπότε πρόκειται για αριθμητική ακολουθία.

Τα γνωστά μεγέθη είναι:

• Πρώτος όρος $a_1 = 5$
• Τελευταίος όρος $a_n = 32$
• Διαφορά $d = 3$

Το πιο συνηθισμένο λάθος εδώ είναι ότι η άσκηση δίνει τον τελευταίο όρο $32$, αλλά δεν δίνει απευθείας τον αριθμό των όρων $n$. Επομένως, πρέπει πρώτα να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του γενικού όρου για να βρούμε το $n$:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Αντικαθιστώντας, έχουμε:

$32 = 5 + (n-1)\cdot 3$

$27 = 3(n-1)$

$n-1 = 9$

$n = 10$

Τώρα εφαρμόζουμε τον τύπο αθροίσης:

$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

$S_{10} = \frac{10(5+32)}{2}$

$S_{10} = 5 \cdot 37 = 185$

Έτσι, το άθροισμα αυτής της σειράς αριθμών είναι $185$.

Το κλειδί σε αυτό το παράδειγμα δεν είναι η απλή εφαρμογή του τύπου, αλλά η παρατήρηση ότι το $n$ δεν είχε δοθεί και έπρεπε πρώτα να υπολογιστεί.

Πότε χρησιμοποιούμε το άθροισμα των n όρων γεωμετρικής ακολουθίας

Αν κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντάς τον με τον ίδιο αριθμό, εξετάζουμε τη γεωμετρική ακολουθία.

Για παράδειγμα, στην ακολουθία:

$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32$

Ο πρώτος όρος είναι $2$, ο λόγος είναι $2$, οπότε το άθροισμα των πρώτων $5$ όρων είναι:

$S_5 = 2\frac{1-2^5}{1-2}$

$S_5 = 2\frac{1-32}{-1} = 62$

Μπορούμε να το επαληθεύσουμε και με απλή πρόσθεση:

$2+4+8+16+32 = 62$

Αν $q = 1$, ο παρονομαστής θα γίνει $0$, οπότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απευθείας τον τύπο άθροισης γεωμετρικής ακολουθίας. Επειδή τότε όλοι οι όροι είναι ίσοι, το άθροισμα των πρώτων $n$ όρων γράφεται απλώς ως:

$S_n = na_1$

Πού γίνονται τα πιο συνηθισμένα λάθη

Συγχύλυντας τον «τελευταίο όρο» με τον «αριθμό των όρων»

Η φράση «μέχρι τον όρο $32$» σημαίνει ότι ο τελευταίος όρος είναι ο $32$, και όχι ότι υπάρχουν συνολικά $32$ όροι. Όπως στο παραπάνω παράδειγμα, πρέπει πρώτα να βρούμε το $n$ μέσω της σχέσης του γενικού όρου.

Εστίαση στο μέγεθος των αριθμών αντί για τον κανόνα

Ορισμένες ακολουθίες φαίνονται να «αυξάνονται γρήγορα» και έτσι συχνά λανθάνεται ότι είναι γεωμετρικές. Άλλοι βγάζουν βιαστικά συμπεράσματα κοιτώντας μόνο τους δύο πρώτους όρους. Ο πιο σίγουρος τρόπος είναι να συγκρίνετε τη διαφορά ή τον λόγο διαδοχικών όρων.

Παράλειψη του ελέγχου των προϋποθέσεων του τύπου γεωμετρικής ακολουθίας

Ο τύπος

$S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$

εφαρμόζεται απευθείας μόνο όταν $q \ne 1$. Εάν $q = 1$, θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ο τύπος $S_n = na_1$.

Πού χρησιμοποιείται συνήθως η άθροιση ακολουθιών

Η άθροιση ακολουθιών συναντάται συχνά σε προβλήματα άλγεβρας του σχολείου, σε βασικές ασκήσεις πριν από την επαγωγική μέθοδο, καθώς και σε χρηματοοικονομικά μοντέλα όπως οι δόσεις και ο ανατοκισμός. Όποτε ένα πρόβλημα δίνει μια σειρά από διακριτές τιμές με συγκεκριμένο κανόνα και ζητά το συνολικό άθροισμα, η άθροιση ακολουθιών είναι συνήθως το βασικό εργαλείο.

Δοκιμάστε να λύσετε μια άσκηση μόνοι σας

Προσπαθήστε να βρείτε το άθροισμα της ακολουθίας $4, 9, 14, 19, 24$. Πρώτα κρίνετε αν είναι αριθμητική ακολουθία και μετά αποφασίστε αν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε απευθείας τον τύπο $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.

Αφού το ολοκληρώσετε, δοκιμάστε μια γεωμετρική εκδοχή, όπως το άθροισμα των πρώτων $4$ όρων της ακολουθίας $3, 6, 12, 24$. Λύνοντας και τις δύο ασκήσεις μαζί, θα καταλάβετε πιο γρήγορα τη διαφορά μεταξύ «σταθερής διαφοράς» και «σταθερού λόγου».