Gradient, Divergence & Curl — Những khái niệm cốt lõi của giải tích vectơ

Gradient, divergence và curl là ba toán tử của giải tích vectơ mà học sinh, sinh viên dễ nhầm lẫn nhất. Cách nhanh nhất để phân biệt chúng là thế này: gradient cho biết một trường vô hướng tăng nhanh nhất theo hướng nào, divergence cho biết một trường vectơ đang đóng vai trò như nguồn hay hố hút, còn curl cho biết trường vectơ đó có sự quay cục bộ hay không.

Có một điều kiện quan trọng trước mọi công thức. Gradient được định nghĩa cho trường vô hướng như nhiệt độ $T(x,y,z)$. Divergence và curl được định nghĩa cho trường vectơ như vận tốc $\mathbf{F}(x,y,z)$.

Gradient, divergence và curl có ý nghĩa gì

Hãy xem ba toán tử này như đang trả lời ba câu hỏi khác nhau:

1. Gradient: trường vô hướng tăng nhanh nhất theo hướng nào?
2. Divergence: tại đây trường vectơ đang tỏa ra hay co vào?
3. Curl: nếu đặt một bánh guồng nhỏ vào trường thì nó có xu hướng quay không?

Kiểu đầu ra của chúng cũng khác nhau. Gradient và curl cho ra vectơ. Divergence cho ra một đại lượng vô hướng. Chỉ riêng điều này đã giúp tránh được rất nhiều sai lầm.

Công thức gradient, divergence và curl

Nếu

$$f(x,y,z)$$

là một trường vô hướng, thì gradient của nó là

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right).$$

Nếu

$$F(x,y,z) = (P,Q,R)$$

là một trường vectơ, thì divergence của nó là

$$\nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z},$$

và curl của nó là

$$\nabla \times F = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

Đây là các công thức chuẩn trong hệ tọa độ Descartes. Nếu bạn chuyển sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu, công thức theo tọa độ sẽ thay đổi.

Trực giác: đi lên dốc, dòng chảy ra và bánh guồng

Hãy nghĩ đến một ngọn đồi, một chất lỏng và một bánh guồng nhỏ.

Với trường vô hướng, gradient chỉ theo hướng đi lên dốc. Hướng của nó là hướng dốc nhất, còn độ lớn của nó cho biết mức tăng dốc đến đâu.

Với trường vectơ, divergence cho biết có nhiều dòng chảy rời khỏi một vùng rất nhỏ hơn là đi vào hay không. Divergence dương nghĩa là có dòng ra thuần. Divergence âm nghĩa là có dòng vào thuần. Divergence bằng không nghĩa là không có nguồn hay hố hút thuần tại điểm đó, chứ không có nghĩa là bản thân trường bằng không.

Curl cho biết liệu một bánh guồng nhỏ đặt trong trường có xu hướng quay hay không. Trong không gian $3$ chiều, curl là một vectơ, và hướng của nó cho biết trục của sự quay cục bộ đó theo quy tắc bàn tay phải.

Ví dụ có lời giải: tính cả ba mà không bị nhầm

Vì các toán tử này tác dụng lên những kiểu đầu vào khác nhau, một ví dụ rõ ràng sẽ dùng một trường vô hướng và một trường vectơ.

Cho trường vô hướng

$$T(x,y,z) = x^2 + y^2 + z$$

và trường vectơ

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y, x, z).$$

1. Gradient của $T$

Tính từng đạo hàm riêng:

$$\frac{\partial T}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial T}{\partial z} = 1.$$

Vậy

$$\nabla T = (2x, 2y, 1).$$

Tại điểm $(1,2,0)$,

$$\nabla T(1,2,0) = (2,4,1).$$

Vì thế từ $(1,2,0)$, trường $T$ tăng nhanh nhất theo hướng $(2,4,1)$.

2. Divergence của $\mathbf{F}$

Ở đây $P = -y$, $Q = x$, và $R = z$. Do đó

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 0 + 0 + 1 = 1.$$

Kết quả là một đại lượng vô hướng. Vì nó dương, trường có dòng ra thuần tại mọi điểm.

3. Curl của $\mathbf{F}$

Bây giờ dùng công thức curl:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right).$$

Ta được

$$\nabla \times \mathbf{F} = (0 - 0, 0 - 0, 1 - (-1)) = (0,0,2).$$

Vậy trường có sự quay cục bộ quanh trục $z$.

Ví dụ này chính là trọng tâm của toàn bộ chủ đề:

1. $\nabla T = (2x,2y,1)$ là một vectơ chỉ hướng tăng nhanh nhất.
2. $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1$ là một đại lượng vô hướng đo dòng ra.
3. $\nabla \times \mathbf{F} = (0,0,2)$ là một vectơ đo sự quay.

Những lỗi thường gặp với gradient, divergence và curl

Lỗi phổ biến nhất là dùng sai toán tử cho sai loại trường. Gradient nhận trường vô hướng. Divergence và curl nhận trường vectơ.

Một lỗi khác là chỉ chú ý đến ký hiệu. Nếu bạn gắn divergence với dòng ra và curl với sự quay, các công thức sẽ dễ nhớ hơn nhiều.

Học sinh, sinh viên cũng thường hiểu divergence bằng không là “không có gì xảy ra”. Điều đó không đúng. Một trường vectơ có thể khác không mà vẫn có dòng ra thuần bằng không tại một điểm.

Với curl, một bẫy khác là xem nó như phép kiểm tra xem một quỹ đạo có cong hay không. Curl nói về xu hướng quay cục bộ, không chỉ là việc một đường sức bị uốn cong trong hình vẽ ở quy mô lớn.

Các toán tử này được dùng ở đâu

Gradient xuất hiện trong tối ưu hóa, truyền nhiệt và thế điện. Nó cho biết đại lượng thay đổi nhanh nhất theo hướng nào.

Divergence xuất hiện trong cơ học chất lưu và điện từ học khi bạn quan tâm đến nguồn, hố hút hoặc định luật bảo toàn.

Curl xuất hiện trong chuyển động quay của chất lưu và trong các phương trình Maxwell, nơi tuần hoàn cục bộ là điều quan trọng.

Gộp lại, chúng cho bạn ba cách khác nhau để đo sự thay đổi trong không gian. Đó là lý do chúng là những công cụ nền tảng của giải tích vectơ, chứ không phải ba công thức rời rạc chỉ để học thuộc.

Tự thử một bài tương tự

Hãy thay đổi các trường một chút rồi tính lại:

$$T(x,y,z) = x^2 + y^2 - z, \qquad \mathbf{F}(x,y,z) = (-y, x, 2z).$$

Hãy tìm gradient, divergence và curl mới, rồi so sánh điều gì thay đổi và điều gì giữ nguyên. Nếu muốn đi tiếp một cách tự nhiên, hãy tự tạo phiên bản của riêng bạn với một trường vô hướng và một trường vectơ khác, rồi kiểm tra từng đáp án theo ý nghĩa của nó thay vì chỉ kiểm tra phép biến đổi đại số.