Gradient, dywergencja i rotacja — podstawy rachunku wektorowego

Gradient, dywergencja i rotacja to trzy operatory rachunku wektorowego, które studenci najczęściej ze sobą mylą. Najszybciej można je odróżnić tak: gradient mówi, gdzie pole skalarne rośnie najszybciej, dywergencja mówi, czy pole wektorowe zachowuje się jak źródło czy ujście, a rotacja mówi, czy to pole wektorowe ma lokalny obrót.

Jeden warunek ma znaczenie jeszcze przed zapisaniem jakiegokolwiek wzoru. Gradient jest zdefiniowany dla pola skalarnego, takiego jak temperatura $T(x,y,z)$. Dywergencja i rotacja są zdefiniowane dla pola wektorowego, takiego jak prędkość $\mathbf{F}(x,y,z)$.

Co oznaczają gradient, dywergencja i rotacja

Pomyśl o tych trzech operatorach jak o odpowiedziach na trzy różne pytania:

1. Gradient: w którą stronę pole skalarne rośnie najszybciej?
2. Dywergencja: czy pole wektorowe w tym miejscu się rozchodzi, czy zapada do środka?
3. Rotacja: czy małe kółko łopatkowe umieszczone w polu zaczęłoby się obracać?

Różne są też wyniki. Gradient i rotacja dają wektory. Dywergencja daje skalar. Ten jeden fakt pozwala uniknąć wielu błędów.

Wzory na gradient, dywergencję i rotację

Jeśli

$$f(x,y,z)$$

jest polem skalarnym, to jego gradient ma postać

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right).$$

Jeśli

$$F(x,y,z) = (P,Q,R)$$

jest polem wektorowym, to jego dywergencja wynosi

$$\nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z},$$

a jego rotacja ma postać

$$\nabla \times F = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

Są to standardowe wzory w kartezjańskim układzie współrzędnych. Jeśli przejdziesz do współrzędnych walcowych lub sferycznych, wzory współrzędnościowe się zmieniają.

Intuicja: pod górę, wypływ i kółko łopatkowe

Pomyśl o wzgórzu, płynie i małym kółku łopatkowym.

Dla pola skalarnego gradient wskazuje kierunek pod górę. Jego kierunek to kierunek największego wzrostu, a jego wartość mówi, jak stromy jest ten wzrost.

Dla pola wektorowego dywergencja mówi, czy z małego obszaru wypływa więcej niż do niego wpływa. Dodatnia dywergencja oznacza wypływ netto. Ujemna dywergencja oznacza dopływ netto. Zerowa dywergencja oznacza brak źródła lub ujścia netto w tym punkcie, a nie to, że samo pole jest zerowe.

Rotacja mówi, czy małe kółko łopatkowe umieszczone w polu miałoby tendencję do obracania się. W $3$D rotacja jest wektorem, a jego kierunek wyznacza oś tego lokalnego obrotu zgodnie z regułą prawej dłoni.

Przykład obliczeniowy: policz wszystkie trzy bez ich mieszania

Ponieważ te operatory działają na różnych typach danych wejściowych, przejrzysty przykład wykorzystuje jedno pole skalarne i jedno pole wektorowe.

Niech pole skalarne będzie równe

$$T(x,y,z) = x^2 + y^2 + z$$

a pole wektorowe

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y, x, z).$$

1. Gradient $T$

Oblicz każdą pochodną cząstkową:

$$\frac{\partial T}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial T}{\partial z} = 1.$$

Zatem

$$\nabla T = (2x, 2y, 1).$$

W punkcie $(1,2,0)$

$$\nabla T(1,2,0) = (2,4,1).$$

Czyli od punktu $(1,2,0)$ pole $T$ rośnie najszybciej w kierunku $(2,4,1)$.

2. Dywergencja $\mathbf{F}$

Tutaj $P = -y$, $Q = x$ i $R = z$. Zatem

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 0 + 0 + 1 = 1.$$

Odpowiedź jest skalarem. Ponieważ jest dodatnia, pole ma w każdym punkcie wypływ netto.

3. Rotacja $\mathbf{F}$

Teraz użyj wzoru na rotację:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right).$$

Otrzymujemy

$$\nabla \times \mathbf{F} = (0 - 0, 0 - 0, 1 - (-1)) = (0,0,2).$$

Zatem pole ma lokalny obrót wokół osi $z$.

Ten przykład pokazuje sedno całego tematu:

1. $\nabla T = (2x,2y,1)$ jest wektorem najszybszego wzrostu.
2. $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1$ jest skalarem mierzącym wypływ.
3. $\nabla \times \mathbf{F} = (0,0,2)$ jest wektorem mierzącym obrót.

Najczęstsze błędy przy gradiencie, dywergencji i rotacji

Najczęstszy błąd polega na użyciu niewłaściwego operatora dla niewłaściwego typu pola. Gradient działa na polu skalarnym. Dywergencja i rotacja działają na polu wektorowym.

Inny błąd to skupianie się wyłącznie na symbolach. Jeśli połączysz dywergencję z wypływem, a rotację z obrotem, wzory stają się dużo łatwiejsze do zapamiętania.

Studenci często odczytują też zerową dywergencję jako „nic się nie dzieje”. To nieprawda. Pole wektorowe może być niezerowe i mimo to mieć zerowy wypływ netto w danym punkcie.

W przypadku rotacji inną pułapką jest traktowanie jej jako testu na to, czy tor wygląda na zakrzywiony. Rotacja dotyczy lokalnej tendencji do obrotu, a nie tylko tego, czy linia pola wygina się na dużym szkicu.

Gdzie używa się tych operatorów

Gradient pojawia się w optymalizacji, przepływie ciepła i potencjale elektrycznym. Mówi, w którym kierunku zmiana jest najszybsza.

Dywergencja pojawia się w mechanice płynów i elektromagnetyzmie, gdy interesują cię źródła, ujścia albo zasady zachowania.

Rotacja pojawia się przy ruchu wirowym płynów i w równaniach Maxwella, gdzie znaczenie ma lokalna cyrkulacja.

Razem dają trzy różne sposoby mierzenia zmian w przestrzeni. Dlatego są podstawowymi narzędziami rachunku wektorowego, a nie trzema niepowiązanymi wzorami do wykucia.

Spróbuj podobnego zadania samodzielnie

Zmień pola nieznacznie i oblicz wszystko ponownie:

$$T(x,y,z) = x^2 + y^2 - z, \qquad \mathbf{F}(x,y,z) = (-y, x, 2z).$$

Wyznacz nowy gradient, dywergencję i rotację, a potem porównaj, co się zmieniło, a co pozostało takie samo. Jeśli chcesz zrobić naturalny kolejny krok, ułóż własną wersję z innym polem skalarnym i wektorowym, a następnie sprawdź każdą odpowiedź pod kątem jej znaczenia, a nie tylko poprawności rachunków.