Gradien, Divergensi & Curl — Dasar-Dasar Kalkulus Vektor

Gradien, divergensi, dan curl adalah tiga operator kalkulus vektor yang paling sering tertukar oleh siswa. Cara cepat untuk membedakannya adalah ini: gradien memberi tahu ke mana suatu medan skalar meningkat paling cepat, divergensi memberi tahu apakah suatu medan vektor bertindak seperti sumber atau serapan, dan curl memberi tahu apakah medan vektor itu memiliki rotasi lokal.

Ada satu syarat yang penting sebelum memakai rumus apa pun. Gradien didefinisikan untuk medan skalar seperti temperatur $T(x,y,z)$. Divergensi dan curl didefinisikan untuk medan vektor seperti kecepatan $\mathbf{F}(x,y,z)$.

Apa arti gradien, divergensi, dan curl

Anggap ketiga operator ini menjawab tiga pertanyaan yang berbeda:

1. Gradien: ke arah mana medan skalar naik paling cepat?
2. Divergensi: apakah medan vektor menyebar ke luar atau mengerut ke dalam di sini?
3. Curl: apakah roda dayung kecil yang ditempatkan di medan itu akan cenderung berputar?

Hasil keluarannya juga berbeda. Gradien dan curl menghasilkan vektor. Divergensi menghasilkan skalar. Fakta tunggal ini mencegah banyak kesalahan.

Rumus gradien, divergensi, dan curl

Jika

$$f(x,y,z)$$

adalah medan skalar, maka gradiennya adalah

$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right).$$

Jika

$$F(x,y,z) = (P,Q,R)$$

adalah medan vektor, maka divergensinya adalah

$$\nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z},$$

dan curl-nya adalah

$$\nabla \times F = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right).$$

Ini adalah rumus standar dalam koordinat Kartesius. Jika Anda beralih ke koordinat silinder atau bola, rumus koordinatnya berubah.

Intuisi: menanjak, aliran keluar, dan roda dayung

Bayangkan sebuah bukit, fluida, dan roda dayung kecil.

Untuk medan skalar, gradien menunjuk ke arah menanjak. Arahnya adalah arah paling curam, dan besarnya memberi tahu seberapa curam kenaikannya.

Untuk medan vektor, divergensi memberi tahu apakah lebih banyak aliran yang keluar dari suatu daerah kecil daripada yang masuk ke dalamnya. Divergensi positif berarti aliran keluar bersih. Divergensi negatif berarti aliran masuk bersih. Divergensi nol berarti tidak ada sumber atau serapan bersih di titik itu, bukan berarti medannya sendiri bernilai nol.

Curl memberi tahu apakah roda dayung kecil yang ditempatkan di medan itu akan cenderung berputar. Dalam $3$D, curl adalah vektor, dan arahnya memberi sumbu rotasi lokal itu menurut kaidah tangan kanan.

Contoh terkerjakan: hitung ketiganya tanpa tertukar

Karena operator-operator ini bekerja pada jenis masukan yang berbeda, satu contoh yang rapi menggunakan satu medan skalar dan satu medan vektor.

Misalkan medan skalarnya adalah

$$T(x,y,z) = x^2 + y^2 + z$$

dan medan vektornya adalah

$$\mathbf{F}(x,y,z) = (-y, x, z).$$

1. Gradien dari $T$

Hitung setiap turunan parsial:

$$\frac{\partial T}{\partial x} = 2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial T}{\partial z} = 1.$$

Jadi

$$\nabla T = (2x, 2y, 1).$$

Pada titik $(1,2,0)$,

$$\nabla T(1,2,0) = (2,4,1).$$

Jadi dari $(1,2,0)$, medan $T$ meningkat paling cepat ke arah $(2,4,1)$.

2. Divergensi dari $\mathbf{F}$

Di sini $P = -y$, $Q = x$, dan $R = z$. Jadi

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (-y)}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 0 + 0 + 1 = 1.$$

Jawabannya adalah skalar. Karena nilainya positif, medan tersebut memiliki aliran keluar bersih di setiap titik.

3. Curl dari $\mathbf{F}$

Sekarang gunakan rumus curl:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{\partial x}{\partial z}, \frac{\partial (-y)}{\partial z} - \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial x}{\partial x} - \frac{\partial (-y)}{\partial y} \right).$$

Itu menjadi

$$\nabla \times \mathbf{F} = (0 - 0, 0 - 0, 1 - (-1)) = (0,0,2).$$

Jadi medan tersebut memiliki rotasi lokal terhadap sumbu $z$.

Contoh ini adalah inti dari seluruh topik:

1. $\nabla T = (2x,2y,1)$ adalah vektor kenaikan tercepat.
2. $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1$ adalah skalar yang mengukur aliran keluar.
3. $\nabla \times \mathbf{F} = (0,0,2)$ adalah vektor yang mengukur rotasi.

Kesalahan umum pada gradien, divergensi, dan curl

Kesalahan yang paling umum adalah menggunakan operator yang salah pada jenis medan yang salah. Gradien bekerja pada medan skalar. Divergensi dan curl bekerja pada medan vektor.

Kesalahan lain adalah hanya berfokus pada simbol. Jika Anda mengaitkan divergensi dengan aliran keluar dan curl dengan rotasi, rumusnya menjadi jauh lebih mudah diingat.

Siswa juga sering menafsirkan divergensi nol sebagai "tidak ada yang terjadi." Itu tidak benar. Suatu medan vektor bisa tidak nol dan tetap memiliki aliran keluar bersih nol di suatu titik.

Untuk curl, jebakan lain adalah menganggapnya sebagai uji apakah suatu lintasan tampak melengkung. Curl berkaitan dengan kecenderungan rotasi lokal, bukan sekadar apakah garis medan membelok dalam sketsa skala besar.

Di mana operator-operator ini digunakan

Gradien muncul dalam optimisasi, aliran panas, dan potensial listrik. Operator ini memberi tahu arah perubahan tercepat.

Divergensi muncul dalam mekanika fluida dan elektromagnetisme ketika Anda peduli pada sumber, serapan, atau kekekalan.

Curl muncul dalam rotasi fluida dan persamaan Maxwell, ketika sirkulasi lokal penting.

Bersama-sama, ketiganya memberi Anda tiga cara berbeda untuk mengukur perubahan dalam ruang. Itulah sebabnya ketiganya menjadi alat dasar dalam kalkulus vektor, bukan tiga rumus yang tidak saling terkait untuk dihafal.

Coba soal serupa sendiri

Ubah medannya sedikit lalu hitung ulang:

$$T(x,y,z) = x^2 + y^2 - z, \qquad \mathbf{F}(x,y,z) = (-y, x, 2z).$$

Temukan gradien, divergensi, dan curl yang baru, lalu bandingkan apa yang berubah dan apa yang tetap sama. Jika Anda ingin langkah berikutnya yang alami, cobalah versi Anda sendiri dengan medan skalar dan medan vektor yang berbeda, lalu periksa setiap jawaban berdasarkan maknanya, bukan hanya berdasarkan aljabarnya.