Variância — Fórmula, Cálculo e Exemplos

A variância mede o quanto os números estão espalhados em torno da média. Uma variância pequena significa que os valores ficam relativamente próximos da média. Uma variância grande significa que eles estão mais dispersos.

Para calcular a variância, encontre a distância de cada valor até a média, eleve essas distâncias ao quadrado e tire a média. Elevar ao quadrado é importante porque, caso contrário, os desvios positivos e negativos se cancelariam.

Fórmula da Variância: População vs. Amostra

Use a fórmula da variância populacional quando seus dados incluem todos os valores do grupo que você quer descrever:

$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2$$

Use a fórmula da variância amostral quando seus dados são apenas uma amostra e você quer estimar a dispersão de uma população maior:

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

A única diferença está no denominador. Use $N$ para uma população completa. Use $n-1$ para uma estimativa amostral.

O Que a Variância Significa

A variância não diz onde está o centro. Ela mostra o quão longe os dados tendem a ficar desse centro.

Se dois conjuntos de dados têm a mesma média, aquele com a maior variância tem valores que, em média, ficam mais distantes da média. Como os desvios são elevados ao quadrado, diferenças excepcionalmente grandes têm influência extra.

Um detalhe importante: a variância é medida em unidades ao quadrado. Se os dados estão em metros, a variância estará em metros quadrados. Por isso, o desvio padrão costuma ser mais fácil de interpretar no uso cotidiano.

Como Calcular a Variância: Exemplo Resolvido

Use o conjunto de dados $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$.

Primeiro, encontre a média:

$$\bar{x} = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

Agora subtraia a média de cada valor e eleve o resultado ao quadrado:

• $(2-5)^2 = 9$
• $(4-5)^2 = 1$
• $(4-5)^2 = 1$
• $(4-5)^2 = 1$
• $(5-5)^2 = 0$
• $(5-5)^2 = 0$
• $(7-5)^2 = 4$
• $(9-5)^2 = 16$

Some esses desvios ao quadrado:

$$9+1+1+1+0+0+4+16 = 32$$

Se esses oito valores forem a população completa, a variância populacional será:

$$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$$

Se os mesmos oito valores forem tratados como uma amostra de uma população maior, a variância amostral será:

$$s^2 = \frac{32}{7} \approx 4.57$$

Este exemplo mostra a ideia principal com clareza: os desvios ao quadrado são os mesmos, mas a resposta final muda dependendo de você dividir por $N$ ou por $n-1$.

Erros Comuns ao Calcular Variância

• Esquecer de elevar os desvios ao quadrado. Se você tirar a média dos desvios brutos, os valores positivos e negativos se cancelam, e você deixa de medir a dispersão corretamente.
• Confundir variância populacional com variância amostral. Divida por $N$ para uma população completa e por $n-1$ para uma amostra usada para estimar uma população maior.
• Esquecer que a variância usa unidades ao quadrado. A variância é útil, mas o desvio padrão costuma ser mais fácil de entender porque volta às unidades originais.
• Supor que variância alta é sempre ruim. Variância maior só significa maior dispersão. Se isso importa ou não depende do contexto.

Quando a Variância É Usada

A variância é usada sempre que você precisa descrever ou comparar a dispersão de forma consistente.

• Em estatística, ela ajuda a resumir o quão disperso é um conjunto de dados.
• No controle de qualidade, pode ajudar a acompanhar se um processo está se mantendo consistente ao longo do tempo.
• Em finanças, a variância é usada para descrever o quanto os retornos oscilam, embora seja apenas uma forma de pensar sobre risco.
• Em aprendizado de máquina e análise de dados, ela ajuda a descrever como características ou erros variam entre observações.

Tente Um Problema Parecido

Experimente criar sua própria versão com dois pequenos conjuntos de dados que tenham a mesma média, mas dispersões diferentes. Calcule a variância de ambos e veja se o conjunto mais espalhado recebe o valor maior. Essa comparação simples geralmente faz a ideia ficar clara.