이진수에서 십진수로 변환

이진수에서 십진수로의 변환은 밑이 $2$인 수를 밑이 $10$인 수로 바꾸어 쓰는 것입니다. 핵심 아이디어는 간단합니다. 각 이진수 자리는 해당하는 $2$의 거듭제곱을 포함할지 말지를 알려 줍니다. $1$이면 그 자릿값을 포함하고, $0$이면 포함하지 않습니다.

예를 들어 $1011_2$는 $11_{10}$입니다. $8$은 포함하고, $4$는 제외하고, $2$와 $1$은 포함하기 때문입니다.

이진수의 자릿값이 십진수 값으로 바뀌는 방법

이진수는 밑이 2인 체계이므로 자릿값이 $10$의 거듭제곱이 아니라 $2$의 거듭제곱입니다. 오른쪽에서 왼쪽으로 갈수록 자리는 다음과 같습니다.

$$2^0,\; 2^1,\; 2^2,\; 2^3,\; \dots$$

즉, 처음 몇 개의 자릿값은 다음과 같습니다.

$$1,\; 2,\; 4,\; 8,\; 16,\; \dots$$

어떤 자릿수가 $1$이면 그 자릿값을 셉니다. $0$이면 세지 않습니다.

이진수에서 십진수로 변환하는 규칙

자릿수가 $b_n b_{n-1} \dots b_1 b_0$인 이진수에서, 각 $b_i$가 $0$ 또는 $1$이라면 십진수 값은 다음과 같습니다.

$$\sum_{i=0}^{n} b_i 2^i$$

변환할 때 꼭 이 공식을 써야 하는 것은 아니지만, 아이디어를 분명하게 보여 줍니다. 이진수는 결국 $2$의 거듭제곱을 사용하는 자릿값 체계입니다.

예제: $11001_2$ 변환하기

오른쪽부터 시작하면 자릿값은 $1, 2, 4, 8, 16$입니다.

$$11001_2 = 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1$$

이제 $1$이 붙은 값만 남기면 됩니다.

$$11001_2 = 16 + 8 + 1$$

따라서 십진수 값은

$$11001_2 = 25_{10}$$

빠르게 확인하고 싶다면 왼쪽에서 오른쪽으로 “$16$이 1개, $8$이 1개, $4$는 0개, $2$는 0개, $1$은 1개”라고 읽어 보세요.

이 방법이 성립하는 이유

십진법에서 $407$은 다음을 뜻합니다.

$$4 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$$

이진수도 같은 방식으로 작동하지만, $2$의 거듭제곱을 사용합니다.

$$11001_2 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0$$

구조는 완전히 같습니다. 바뀌는 것은 밑뿐입니다.

이진수에서 십진수로 변환할 때 자주 하는 실수

1. $2$의 거듭제곱 대신 $10$의 거듭제곱을 사용하는 것. 이진수의 자릿값은 $1, 2, 4, 8, 16, \dots$입니다.
2. 지수를 확인하지 않고 왼쪽부터 자리를 세는 것. 가장 안전한 방법은 오른쪽에서 $2^0$부터 시작하는 것입니다.
3. $1021$ 같은 수를 이진수로 생각하는 것. 올바른 이진수의 숫자는 $0$과 $1$뿐입니다.
4. 앞의 0이 값을 바꾸지 않는다는 점을 잊는 것. 예를 들어 $0011_2$와 $11_2$는 둘 다 $3_{10}$입니다.

이진수에서 십진수로의 변환은 언제 쓰이나요?

이진수에서 십진수로의 변환은 컴퓨터가 값을 어떻게 저장하는지 해석해야 할 때마다 등장합니다. 기초 컴퓨터 과학, 디지털 전자, 데이터 표현, 그리고 권한, 플래그, 메모리 값처럼 비트를 사용하는 설정에서 자주 볼 수 있습니다.

하드웨어를 직접 다루지 않더라도, 이진수의 자릿값을 이해하면 수 체계가 훨씬 덜 낯설게 느껴집니다.

비슷한 변환을 직접 해보세요

$101101_2$를 십진수로 바꿔 보세요. 먼저 자릿값을 쓰고, 그다음 $1$과 맞는 $2$의 거듭제곱만 더하면 됩니다. 이 한 가지 습관만으로도 대부분의 변환 실수를 막을 수 있습니다.