Ukuran Penyebaran Data — Jangkauan, Varians & Simpangan Baku

Ukuran penyebaran memberi tahu seberapa tersebar suatu kumpulan data. Tiga ukuran dasarnya adalah jangkauan, varians, dan simpangan baku. Jangkauan hanya memakai nilai terendah dan tertinggi, varians mengukur rata-rata kuadrat jarak dari mean, dan simpangan baku adalah akar kuadrat dari varians sehingga penyebaran kembali ke satuan aslinya.

Jika ingin ringkasan cepat, gunakan jangkauan untuk melihat sekilas, varians untuk pekerjaan statistik yang lebih formal, dan simpangan baku saat Anda ingin ukuran penyebaran yang lebih mudah ditafsirkan.

Jangkauan, varians, dan simpangan baku sekilas

Jangkauan adalah jarak dari nilai minimum ke maksimum:

$$\text{range} = \text{maximum} - \text{minimum}$$

Ini cepat dihitung, tetapi hanya memakai dua nilai. Satu nilai ekstrem dapat mengubahnya secara besar.

Varians mengukur seberapa jauh nilai-nilai cenderung berada dari mean setelah jarak tersebut dikuadratkan.

Untuk populasi penuh,

$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2$$

Untuk sampel yang digunakan untuk memperkirakan populasi yang lebih besar,

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Gunakan $N$ hanya ketika data Anda adalah seluruh populasi yang ingin dianalisis. Gunakan $n-1$ ketika data Anda adalah sampel dari kelompok yang lebih besar.

Simpangan baku adalah akar kuadrat dari varians:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

atau, untuk sampel,

$$s = \sqrt{s^2}$$

Karena dinyatakan dalam satuan asli, simpangan baku biasanya lebih mudah dibaca daripada varians.

Contoh terperinci: jangkauan sama, penyebaran berbeda

Bandingkan dua kumpulan data berikut:

• Set A: $2, 5, 5, 5, 8$
• Set B: $2, 2, 5, 8, 8$

Keduanya memiliki nilai minimum yang sama, nilai maksimum yang sama, dan mean yang sama.

Untuk setiap set,

$$\text{range} = 8 - 2 = 6$$

dan

$$\text{mean} = \frac{25}{5} = 5$$

Jadi, jangkauan saja mengatakan bahwa keduanya sama lebarnya. Namun, nilai-nilainya tersusun berbeda di sekitar mean.

Set A

Simpangan dari mean adalah

$$-3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 3$$

Jika dikuadratkan, diperoleh

$$9,\ 0,\ 0,\ 0,\ 9$$

Jumlah kuadrat simpangannya adalah $18$. Jika data dianggap sebagai populasi,

$$\sigma^2 = \frac{18}{5} = 3.6$$

dan

$$\sigma = \sqrt{3.6} \approx 1.90$$

Set B

Simpangan dari mean adalah

$$-3,\ -3,\ 0,\ 3,\ 3$$

Jika dikuadratkan, diperoleh

$$9,\ 9,\ 0,\ 9,\ 9$$

Jumlah kuadrat simpangannya adalah $36$, sehingga

$$\sigma^2 = \frac{36}{5} = 7.2$$

dan

$$\sigma = \sqrt{7.2} \approx 2.68$$

Kedua set memiliki jangkauan yang sama, tetapi Set B memiliki varians dan simpangan baku yang lebih besar. Itulah gagasan utamanya: jangkauan hanya melihat titik ujung, sedangkan varians dan simpangan baku memakai seluruh kumpulan data.

Kesalahan umum pada ukuran penyebaran

Salah satu kesalahan umum adalah menganggap bahwa jangkauan yang sama berarti penyebaran yang sama. Contoh di atas menunjukkan mengapa anggapan itu salah.

Kesalahan lain adalah memperlakukan varians seolah-olah memiliki satuan asli. Padahal tidak. Jika data dinyatakan dalam meter, maka varians dinyatakan dalam meter kuadrat.

Kesalahan ketiga adalah tertukar antara rumus populasi dan rumus sampel. Penyebut yang benar bergantung pada situasinya: gunakan $N$ untuk populasi penuh dan $n-1$ untuk sampel.

Perlu juga diingat bahwa varians dan simpangan baku peka terhadap pencilan karena simpangan yang besar dikuadratkan sebelum dirata-ratakan.

Kapan tiap ukuran berguna

Gunakan jangkauan saat Anda ingin melihat dengan cepat seberapa lebar rentang data.

Gunakan varians saat Anda memerlukan ukuran penyebaran di dalam metode statistik lain. Banyak rumus dalam peluang dan statistika dibangun berdasarkan varians, meskipun laporan akhirnya sering menampilkan simpangan baku.

Gunakan simpangan baku saat Anda menginginkan deskripsi penyebaran yang praktis dalam satuan yang sama dengan data. Dalam banyak ringkasan di kelas maupun dunia nyata, ini adalah pilihan yang paling mudah dibaca.

Coba soal serupa

Buat dua kumpulan data pendek dengan mean yang sama dan jangkauan yang sama, lalu bandingkan varians dan simpangan bakunya. Jika ingin melangkah lebih jauh, coba versi Anda sendiri di solver setelah menghitungnya secara manual.