Streuungsmaße — Spannweite, Varianz & Standardabweichung

Streuungsmaße sagen dir, wie stark ein Datensatz verteilt ist. Die drei grundlegenden Maße sind Spannweite, Varianz und Standardabweichung. Die Spannweite verwendet nur den kleinsten und den größten Wert, die Varianz misst den durchschnittlichen quadrierten Abstand vom Mittelwert, und die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und bringt die Streuung damit zurück in die ursprünglichen Einheiten.

Wenn du die schnelle Kernaussage willst: Nutze die Spannweite für einen schnellen Überblick, die Varianz für formale statistische Arbeit und die Standardabweichung, wenn du ein Streuungsmaß möchtest, das leichter zu interpretieren ist.

Spannweite, Varianz und Standardabweichung auf einen Blick

Die Spannweite ist der Abstand vom Minimum zum Maximum:

$$\text{range} = \text{maximum} - \text{minimum}$$

Sie ist schnell zu berechnen, verwendet aber nur zwei Werte. Ein einzelner Extremwert kann sie stark verändern.

Die Varianz misst, wie weit Werte im Durchschnitt vom Mittelwert entfernt liegen, nachdem diese Abstände quadriert wurden.

Für eine vollständige Grundgesamtheit gilt:

$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2$$

Für eine Stichprobe, die zur Schätzung einer größeren Grundgesamtheit verwendet wird, gilt:

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

Verwende $N$ nur dann, wenn deine Daten die gesamte Grundgesamtheit sind, die dich interessiert. Verwende $n-1$, wenn deine Daten eine Stichprobe aus einer größeren Gruppe sind.

Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

oder, für eine Stichprobe,

$$s = \sqrt{s^2}$$

Weil sie in den ursprünglichen Einheiten angegeben wird, ist die Standardabweichung meist leichter zu lesen als die Varianz.

Durchgerechnetes Beispiel: gleiche Spannweite, unterschiedliche Streuung

Vergleiche diese beiden Datensätze:

• Datensatz A: $2, 5, 5, 5, 8$
• Datensatz B: $2, 2, 5, 8, 8$

Beide haben dasselbe Minimum, dasselbe Maximum und denselben Mittelwert.

Für jeden Datensatz gilt:

$$\text{range} = 8 - 2 = 6$$

und

$$\text{mean} = \frac{25}{5} = 5$$

Die Spannweite allein sagt also, dass beide gleich breit sind. Aber die Werte sind unterschiedlich um den Mittelwert angeordnet.

Datensatz A

Die Abweichungen vom Mittelwert sind

$$-3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 3$$

Quadriert ergibt das

$$9,\ 0,\ 0,\ 0,\ 9$$

Die Summe der quadrierten Abweichungen ist $18$. Wenn wir die Daten als Grundgesamtheit behandeln, gilt:

$$\sigma^2 = \frac{18}{5} = 3.6$$

und

$$\sigma = \sqrt{3.6} \approx 1.90$$

Datensatz B

Die Abweichungen vom Mittelwert sind

$$-3,\ -3,\ 0,\ 3,\ 3$$

Quadriert ergibt das

$$9,\ 9,\ 0,\ 9,\ 9$$

Die Summe der quadrierten Abweichungen ist $36$, also gilt:

$$\sigma^2 = \frac{36}{5} = 7.2$$

und

$$\sigma = \sqrt{7.2} \approx 2.68$$

Beide Datensätze haben dieselbe Spannweite, aber Datensatz B hat die größere Varianz und Standardabweichung. Das ist die zentrale Idee: Die Spannweite betrachtet nur die Endpunkte, während Varianz und Standardabweichung den gesamten Datensatz verwenden.

Häufige Fehler bei Streuungsmaßen

Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass dieselbe Spannweite auch dieselbe Streuung bedeutet. Das obige Beispiel zeigt, warum das falsch ist.

Ein weiterer Fehler ist, die Varianz so zu behandeln, als wäre sie in den ursprünglichen Einheiten angegeben. Das ist sie nicht. Wenn die Daten in Metern vorliegen, dann ist die Varianz in Quadratmetern.

Ein dritter Fehler ist, die Formeln für Grundgesamtheit und Stichprobe zu verwechseln. Der richtige Nenner hängt von der Situation ab: Verwende $N$ für eine vollständige Grundgesamtheit und $n-1$ für eine Stichprobe.

Es hilft auch, sich zu merken, dass Varianz und Standardabweichung empfindlich auf Ausreißer reagieren, weil große Abweichungen vor dem Mitteln quadriert werden.

Wann welches Maß nützlich ist

Verwende die Spannweite, wenn du einen schnellen ersten Eindruck davon bekommen willst, wie weit die Daten reichen.

Verwende die Varianz, wenn du das Streuungsmaß in anderen statistischen Methoden brauchst. Viele Formeln in Wahrscheinlichkeit und Statistik bauen auf der Varianz auf, auch wenn in Berichten später stattdessen die Standardabweichung angegeben wird.

Verwende die Standardabweichung, wenn du eine praktische Beschreibung der Streuung in denselben Einheiten wie die Daten möchtest. In vielen Zusammenfassungen im Unterricht und in der Praxis ist sie die am leichtesten lesbare Wahl.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Erstelle zwei kurze Datensätze mit demselben Mittelwert und derselben Spannweite und vergleiche dann ihre Varianz und Standardabweichung. Wenn du noch einen Schritt weitergehen willst, probiere deine eigene Version in einem Solver aus, nachdem du sie von Hand berechnet hast.