离散程度的度量——极差、方差与标准差

离散程度的度量告诉你一组数据有多分散。三种基本度量是极差、方差和标准差。极差只使用最小值和最大值，方差衡量数据与均值之间平方距离的平均大小，而标准差是方差的平方根，因此它把离散程度带回到原始单位中。

如果你想快速抓住重点：快速查看数据分布宽度时用极差，做正式统计分析时用方差，想要一个更容易解释的离散程度指标时用标准差。

极差、方差和标准差速览

极差是最小值到最大值之间的距离：

$$\text{range} = \text{maximum} - \text{minimum}$$

它计算很快，但只用到了两个数值。一个极端值就可能让它发生很大变化。

方差衡量的是：把各个数值与均值的距离平方后，这些平方距离通常有多大。

对于一个完整总体，

$$\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2$$

对于用来估计更大总体的样本，

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

只有当你的数据就是你关心的整个总体时，才使用 $N$。当你的数据是从更大群体中抽取的样本时，使用 $n-1$。

标准差是方差的平方根：

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

或者，对于样本，

$$s = \sqrt{s^2}$$

因为它使用的是原始单位，所以标准差通常比方差更容易理解。

例题：极差相同，但离散程度不同

比较下面两组数据：

• A 组：$2, 5, 5, 5, 8$
• B 组：$2, 2, 5, 8, 8$

它们有相同的最小值、相同的最大值，也有相同的均值。

对于每一组，

$$\text{range} = 8 - 2 = 6$$

并且

$$\text{mean} = \frac{25}{5} = 5$$

所以仅看极差，会认为它们一样宽。但这些数值围绕均值的分布方式并不相同。

A 组

相对于均值的离差是

$$-3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 3$$

平方后得到

$$9,\ 0,\ 0,\ 0,\ 9$$

离差平方和是 $18$。如果把这组数据看作总体，那么

$$\sigma^2 = \frac{18}{5} = 3.6$$

并且

$$\sigma = \sqrt{3.6} \approx 1.90$$

B 组

相对于均值的离差是

$$-3,\ -3,\ 0,\ 3,\ 3$$

平方后得到

$$9,\ 9,\ 0,\ 9,\ 9$$

离差平方和是 $36$，所以

$$\sigma^2 = \frac{36}{5} = 7.2$$

并且

$$\sigma = \sqrt{7.2} \approx 2.68$$

两组数据的极差相同，但 B 组的方差和标准差更大。这正是关键：极差只看两端点，而方差和标准差会利用整组数据。

离散程度度量中的常见错误

一个常见错误是认为极差相同就表示离散程度相同。上面的例子说明了为什么这种看法是错误的。

另一个错误是把方差当作原始单位下的量。其实不是。如果数据单位是米，那么方差的单位就是平方米。

第三个错误是混淆总体公式和样本公式。正确的分母取决于具体情境：完整总体用 $N$，样本用 $n-1$。

还要记住，方差和标准差对离群值比较敏感，因为较大的离差在取平均之前会先被平方。

每种度量什么时候有用

当你只是想快速看一眼数据分布有多宽时，用极差。

当你需要在其他统计方法中使用离散程度指标时，用方差。概率与统计中的许多公式都是围绕方差建立的，即使最后报告时展示的是标准差。

当你想用与数据相同的单位来描述离散程度时，用标准差。在很多课堂总结和现实应用中，它通常是最容易读懂的选择。

试试类似的问题

自己构造两组较短的数据，让它们有相同的均值和相同的极差，然后比较它们的方差和标准差。如果你想更进一步，可以先手算，再到求解器里试试你自己的版本。