Les fonctions trigonométriques — Guide complet des formules sin, cos et tan

Les fonctions trigonométriques sont des outils qui relient la mesure d'un angle au rapport entre les côtés d'un triangle. Les trois premières formules que les élèves rencontrent sont les suivantes.

Dans un triangle rectangle, pour l'angle $\\theta$ :

$\\sin \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{빗변}}, \\quad \\cos \\theta = \\frac{\\text{이웃변}}{\\text{빗변}}, \\quad \\tan \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{이웃변}}$

Si vous comprenez précisément ce que ces trois rapports comparent, vous avez déjà compris la moitié des fonctions trigonométriques.

Pourquoi les fonctions trigonométriques sont-elles nécessaires ?

Le point essentiel est que, pour des triangles rectangles ayant le même angle, le rapport entre les côtés reste constant. Même si la taille du triangle change, tant que l'angle est le même, les valeurs de $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$ et $\\tan \\theta$ ne changent pas.

C'est pourquoi la trigonométrie est souvent utilisée comme une "méthode pour calculer des longueurs à l'aide d'angles lorsque les mesures directes sont difficiles". On la retrouve fréquemment dans les problèmes impliquant des hauteurs, des distances, des pentes ou des rotations.

Comment distinguer rapidement sin, cos et tan

Commencez par choisir un angle de référence $\\theta$, puis nommez les côtés :

• Côté opposé : le côté situé exactement en face de l'angle $\\theta$.
• Côté adjacent : le côté qui touche l'angle $\\theta$, mais qui n'est pas l'hypoténuse.
• Hypoténuse : le côté le plus long, situé face à l'angle droit.

L'erreur la plus courante est d'oublier que les noms "opposé" et "adjacent" ne sont pas fixes. Pour un même triangle, si vous changez l'angle de référence, ces deux noms s'inversent.

Le critère pour choisir la formule est simple :

• Si vous avez besoin du côté opposé et de l'hypoténuse $\rightarrow$ $\\sin$
• Si vous avez besoin du côté adjacent et de l'hypoténuse $\rightarrow$ $\\cos$
• Si vous avez besoin du côté opposé et du côté adjacent $\rightarrow$ $\\tan$

De plus, si $\\cos \\theta \\ne 0$, on peut aussi écrire :

$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$

Au-delà du triangle rectangle : le cercle trigonométrique

La définition par le triangle rectangle est le point de départ. Lorsque l'angle est supérieur à 90^\\circ ou négatif, on interprète les fonctions trigonométriques via le cercle trigonométrique.

Sur un cercle de rayon $1$, si l'on considère le point correspondant à l'angle $\\theta$, ses coordonnées sont :

$(\\cos \\theta, \\sin \\theta)$

Ainsi, on peut voir le cosinus comme l'abscisse (coordonnée x) et le sinus comme l'ordonnée (coordonnée y). Grâce à cette extension, la trigonométrie mène naturellement vers l'étude des graphiques, des périodes et des ondes.

Exemple : Calculer $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$ et $\\tan \\theta$ avec les longueurs des côtés

Considérons un triangle rectangle dont l'hypoténuse est $10$ et le côté adjacent $8$. L'angle $\\theta$ est l'angle adjacent au côté $8$.

D'abord, nous devons trouver la longueur du côté opposé. D'après le théorème de Pythagore :

$\\text{맞은편}^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

Le côté opposé est donc $6$.

Maintenant, en appliquant les rapports :

$\\sin \\theta = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$

$\\cos \\theta = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}$

$\\tan \\theta = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}$

Le point important ici n'est pas le calcul lui-même, mais la méthode : choisir l'angle de référence, nommer les côtés, puis choisir le rapport approprié. La formule s'impose alors naturellement.

Erreurs fréquentes

Nommer les côtés avant de fixer l'angle de référence

Le côté opposé et le côté adjacent dépendent de l'angle choisi. Si vous ne regardez pas l'angle d'abord, vous risquez d'appliquer la bonne formule avec les mauvaises valeurs.

Appliquer la définition du triangle rectangle à n'importe quel triangle

Les définitions de $\\sin$, $\\cos$ et $\\tan$ s'appliquent directement aux triangles rectangles. Pour les triangles non rectangles, on utilise généralement d'autres outils comme la loi des sinus ou la loi des cosinus.

Oublier de vérifier le mode de l'angle sur la calculatrice

Si le problème donne des angles en degrés comme 30^\\circ ou 45^\\circ, la calculatrice doit être en mode "DEG". En mode "RAD" (radians), les résultats seront totalement différents.

Négliger les conditions de la tangente

Comme $\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$, la tangente n'est pas définie là où $\\cos \\theta = 0$. Il faut toujours garder cette condition à l'esprit lors de la manipulation d'équations.

Où utilise-t-on la trigonométrie ?

En mathématiques scolaires, cela mène aux problèmes de triangles rectangles, au cercle trigonométrique, aux graphiques de fonctions et aux équations trigonométriques. En physique, on la retrouve dans les ondes et les vibrations ; en ingénierie, pour les pentes et les rotations ; et en analyse de coordonnées pour les problèmes de direction et de distance.

Même si les formules semblent nombreuses au début, il s'agit en réalité d'une seule idée : "une fois l'angle fixé, le rapport entre les côtés est déterminé", exprimée de différentes manières.

À vous de jouer !

Essayez de résoudre ceci : dans l'exemple précédent, si on remplace l'hypoténuse par $13$ et le côté adjacent par $5$, quelle sera la longueur du côté opposé et quelles seront les valeurs de $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$ et $\\tan \\theta$ ?

Si vous trouvez la réponse rapidement, c'est que vous avez maîtrisé le concept de base. La prochaine étape sera de voir comment $\\sin$, $\\cos$ et $\\tan$ se connectent dans le cercle trigonométrique ; la trigonométrie vous semblera alors beaucoup moins être une matière de mémorisation.