Trigonometrie — Alle Formeln für sin, cos und tan im Überblick

Trigonometrische Funktionen sind Werkzeuge, die die Größe eines Winkels mit dem Verhältnis von Seitenlängen verknüpfen. Die ersten drei Formeln, denen Schüler begegnen, sind:

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt für den Winkel $\\theta$:

$\\sin \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{빗변}}, \\quad \\cos \\theta = \\frac{\\text{이웃변}}{\\text{빗변}}, \\quad \\tan \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{이웃변}}$

Wenn Sie zuerst genau verstehen, welche Seitenverhältnisse hier verglichen werden, haben Sie die halbe Miete bei der Trigonometrie bereits geschafft.

Warum brauchen wir trigonometrische Funktionen?

Der Kern der Trigonometrie liegt darin, dass in rechtwinkligen Dreiecken mit dem gleichen Winkel das Verhältnis der Seiten konstant bleibt. Auch wenn die Größe des Dreiecks variiert, ändern sich die Werte von $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$ und $\\tan \\theta$ nicht, solange der Winkel gleich bleibt.

Deshalb werden trigonometrische Funktionen oft als „Methode zur Berechnung von Längen mithilfe von Winkeln eingesetzt, wenn eine direkte Messung der Länge schwierig ist“. Sie tauchen besonders häufig bei Problemen auf, die Winkel beinhalten, wie etwa bei Höhen, Distanzen, Steigungen oder Rotationen.

So unterscheidet man schnell zwischen sin, cos und tan

Legen Sie zuerst einen Referenzwinkel $\\theta$ fest und benennen Sie die Seiten:

• Gegenkathete: Die Seite, die dem Winkel $\\theta$ direkt gegenüberliegt.
• Ankathete: Die Seite, die neben dem Winkel $\\theta$ liegt, aber nicht die Hypotenuse ist.
• Hypotenuse: Die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Ein häufiger Fehler ist die Annahme, dass Gegenkathete und Ankathete feste Namen sind. Selbst im selben Dreieck können sich diese Bezeichnungen ändern, wenn Sie den Referenzwinkel wechseln.

Die Entscheidung, welche Formel zu wählen ist, ist simpel:

• Benötigt man Gegenkathete und Hypotenuse $\rightarrow$ $\\sin$
• Benötigt man Ankathete und Hypotenuse $\rightarrow$ $\\cos$
• Benötigt man Gegenkathete und Ankathete $\rightarrow$ $\\tan$

Zudem kann bei $\\cos \\theta \\ne 0$ auch Folgendes verwendet werden:

$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$

Über das rechtwinklige Dreieck hinaus: Der Einheitskreis

Die Definition über das rechtwinklige Dreieck ist nur der Startpunkt. Wenn Winkel größer als 90^\\circ oder negativ sind, interpretiert man trigonometrische Funktionen über den Einheitskreis.

Betrachtet man einen Punkt auf einem Kreis mit dem Radius $1$, der dem Winkel $\\theta$ entspricht, so ergeben sich die Koordinaten:

$(\\cos \\theta, \\sin \\theta)$

Man kann den Cosinus also als x-Koordinate (horizontal) und den Sinus als y-Koordinate (vertikal) betrachten. Dank dieser Erweiterung führen trigonometrische Funktionen ganz natürlich zu Themen wie Graphen, Periodizität und Wellenphänomenen.

Beispiel: Berechnung von $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$ und $\\tan \\theta$ anhand der Seitenlängen

Stellen wir uns ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von $10$ und einer Ankathete von $8$ vor. Der Winkel $\\theta$ sei der Winkel an der Ankathete $8$.

Zuerst müssen wir die Länge der Gegenkathete berechnen. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

$\\text{맞은편}^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

Somit beträgt die Gegenkathete $6$.

Setzen wir dies nun in die Verhältnisse ein:

$\\sin \\theta = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$

$\\cos \\theta = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}$

$\\tan \\theta = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}$

Das Wichtigste an diesem Beispiel ist nicht die Rechnung selbst, sondern die Reihenfolge: Referenzwinkel festlegen, Seiten benennen, das passende Verhältnis wählen – dann ergibt sich die Gleichung von selbst.

Häufige Fehler

Benennung der Seiten vor der Festlegung des Referenzwinkels

Gegenkathete und Ankathete hängen vom gewählten Referenzwinkel ab. Wenn man den Winkel nicht zuerst betrachtet, kann die Formel zwar stimmen, aber die eingesetzten Werte sind falsch.

Anwendung der rechtwinkligen Definition auf alle Dreiecke

Die Definitionen von $\\sin$, $\\cos$ und $\\tan$ über Seitenverhältnisse gelten direkt nur für rechtwinklige Dreiecke. In nicht-rechtwinkligen Dreiecken benötigt man in der Regel andere Werkzeuge wie den Sinussatz oder den Cosinussatz.

Ignorieren des Winkeleinstellungs-Modus am Taschenrechner

Wenn die Aufgabe Winkel in Grad angibt (z. B. 30^\\circ oder 45^\\circ), muss der Taschenrechner im „DEG“-Modus sein. Im „RAD“-Modus (Bogenmaß) kommen völlig andere Werte heraus.

Übersehen der Bedingungen für den Tangens

Da $\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$ gilt, ist der Tangens an Stellen, an denen $\\cos \\theta = 0$ ist, nicht definiert. Diese Bedingung muss beim Umformen von Gleichungen immer beachtet werden.

Wo wird Trigonometrie angewendet?

In der Schulmathematik führt der Weg über rechtwinklige Dreiecke und den Einheitskreis hin zu Graphen trigonometrischer Funktionen und trigonometrischen Gleichungen. In der Physik ist sie essenziell für Wellen und Schwingungen, in der Technik für Steigungen und Rotationen und in der Koordinatenanalyse für Richtungs- und Distanzprobleme.

Auch wenn es am Anfang nach vielen Formeln aussieht, geht es im Grunde immer nur um einen einzigen Satz: „Wenn ein Winkel festgelegt ist, ist auch das Verhältnis der Seiten festgelegt“.

Der nächste Schritt zum Ausprobieren

Versuchen Sie, die Werte selbst zu ändern und die Aufgabe zu lösen. Wenn Sie im obigen Beispiel die Hypotenuse auf $13$ und die Ankathete auf $5$ ändern: Wie lang ist dann die Gegenkathete und wie hoch sind $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$ und $\\tan \\theta$?

Wenn Sie diese Aufgabe sofort lösen können, haben Sie das Grundkonzept verstanden. Wenn Sie sich als Nächstes ansehen, wie $\\sin$, $\\cos$ und $\\tan$ im Einheitskreis zusammenhängen, wird die Trigonometrie sich viel weniger wie ein reines Auswendiglern-Fach anfühlen.