삼각함수 — sin cos tan 공식 총정리

삼각함수는 각의 크기와 변의 비를 연결하는 도구입니다. 학생들이 가장 먼저 만나는 식은 다음 세 가지입니다.

직각삼각형에서 각 $\\theta$에 대해

$$\\sin \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{빗변}}, \\quad \\cos \\theta = \\frac{\\text{이웃변}}{\\text{빗변}}, \\quad \\tan \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{이웃변}}$$

입니다. 먼저 이 세 비율이 무엇을 비교하는지만 정확히 잡아도 삼각함수의 절반은 이해한 것입니다.

삼각함수는 왜 필요한가

삼각함수의 핵심은 같은 각을 가진 직각삼각형에서는 변의 비가 일정하다는 점입니다. 삼각형의 크기는 달라도 각이 같으면 $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$, $\\tan \\theta$의 값은 바뀌지 않습니다.

그래서 삼각함수는 "길이를 직접 재기 어려울 때 각을 이용해 길이를 구하는 방법"으로 많이 쓰입니다. 높이, 거리, 경사, 회전처럼 각이 들어가는 문제에서 특히 자주 나옵니다.

sin, cos, tan을 빠르게 구분하는 법

기준 각 $\\theta$를 하나 정한 뒤 변의 이름을 붙입니다.

• 맞은편: 각 $\\theta$의 정반대에 있는 변
• 이웃변: 각 $\\theta$ 옆에 있지만 빗변은 아닌 변
• 빗변: 직각에 마주 보는 가장 긴 변

이때 가장 많이 헷갈리는 부분은 맞은편과 이웃변이 고정된 이름이 아니라는 점입니다. 같은 삼각형이어도 기준 각을 바꾸면 두 이름이 바뀔 수 있습니다.

공식을 고르는 기준은 단순합니다.

• 맞은편과 빗변이 필요하면 $\\sin$
• 이웃변과 빗변이 필요하면 $\\cos$
• 맞은편과 이웃변이 필요하면 $\\tan$

또한 $\\cos \\theta \\ne 0$이면

$$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$$

로도 쓸 수 있습니다.

직각삼각형을 넘어서면 단위원으로 본다

직각삼각형 정의는 시작점입니다. 각이 90^\\circ보다 크거나 음수인 경우에는 단위원으로 삼각함수를 해석합니다.

반지름이 $1$인 원 위에서 각 $\\theta$에 대응하는 점을 생각하면 좌표는

$$(\\cos \\theta, \\sin \\theta)$$

가 됩니다. 그래서 코사인은 가로좌표, 사인은 세로좌표로 볼 수 있습니다. 이 확장 덕분에 삼각함수는 그래프, 주기, 파동 문제로 자연스럽게 이어집니다.

예제: 변의 길이로 $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$, $\\tan \\theta$ 구하기

빗변이 $10$, 이웃변이 $8$인 직각삼각형을 생각해 보겠습니다. 각 $\\theta$는 이웃변 $8$에 붙어 있는 각이라고 하겠습니다.

먼저 맞은편 변의 길이를 구해야 합니다. 피타고라스 정리에 따라

$$\\text{맞은편}^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$$

이므로 맞은편 변은 $6$입니다.

이제 각 비율에 그대로 넣으면

$$\\sin \\theta = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$$ $$\\cos \\theta = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}$$ $$\\tan \\theta = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}$$

가 됩니다.

이 예제에서 중요한 점은 계산 자체보다 순서입니다. 기준 각을 정하고, 변 이름을 붙이고, 필요한 비율을 고르면 식이 자연스럽게 따라옵니다.

자주 틀리는 실수

기준 각을 정하기 전에 변 이름을 붙이는 실수

맞은편과 이웃변은 기준 각에 따라 달라집니다. 각을 먼저 보지 않으면 공식은 맞아도 대입이 틀릴 수 있습니다.

직각삼각형 정의를 모든 삼각형에 그대로 쓰는 실수

$\\sin$, $\\cos$, $\\tan$의 변의 비 정의는 직각삼각형에서 직접 쓰는 정의입니다. 직각이 아닌 삼각형에서는 보통 사인법칙이나 코사인법칙 같은 다른 도구가 필요합니다.

계산기 각도 모드를 확인하지 않는 실수

문제가 도 단위인 30^\\circ, 45^\\circ 같은 각을 주면 계산기도 degree 모드여야 합니다. radian 모드로 두면 값이 전혀 다르게 나옵니다.

탄젠트의 조건을 놓치는 실수

$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$이므로 $\\cos \\theta = 0$인 곳에서는 탄젠트가 정의되지 않습니다. 식을 변형할 때 이 조건을 같이 봐야 합니다.

삼각함수는 어디에 쓰이나

학교 수학에서는 직각삼각형 문제, 단위원, 삼각함수 그래프, 삼각방정식으로 이어집니다. 물리에서는 파동과 진동, 공학에서는 경사와 회전, 좌표 해석에서는 방향과 거리 문제에 자주 연결됩니다.

처음에는 공식이 많아 보여도, 실제로는 "각 하나가 정해지면 변의 비가 정해진다"는 한 문장을 여러 방식으로 쓰는 것에 가깝습니다.

바로 써먹는 다음 단계

직접 하나 바꿔서 풀어 보세요. 방금 예제에서 빗변을 $13$, 이웃변을 $5$로 바꾸면 맞은편 변은 얼마이고 $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$, $\\tan \\theta$는 각각 얼마일까요?

이 문제가 바로 풀리면 기본 개념은 잡힌 것입니다. 다음에는 단위원에서 같은 $\\sin$, $\\cos$, $\\tan$이 어떻게 이어지는지 보면 삼각함수가 훨씬 덜 암기 과목처럼 느껴집니다.