ฟังก์ชันตรีโกณมิติ — สรุปสูตร sin cos tan แบบครบจบในที่เดียว

ฟังก์ชันตรีโกณมิติคือเครื่องมือที่เชื่อมโยง "ขนาดของมุม" และ "อัตราส่วนของด้าน" เข้าด้วยกัน สูตรสามอย่างแรกที่นักเรียนจะได้เจอคือ:

สำหรับมุม $\\theta$ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

$\\sin \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{빗변}}, \\quad \\cos \\theta = \\frac{\\text{이웃변}}{\\text{빗변}}, \\quad \\tan \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{이웃변}}$

หากคุณเข้าใจได้อย่างถูกต้องว่าอัตราส่วนทั้งสามนี้เปรียบเทียบอะไรกัน ก็ถือว่าเข้าใจพื้นฐานของฟังก์ชันตรีโกณมิติไปกว่าครึ่งแล้วครับ

ทำไมเราถึงต้องใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หัวใจสำคัญของฟังก์ชันตรีโกณมิติคือ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมเท่ากัน อัตราส่วนของด้านจะคงที่เสมอ แม้ขนาดของสามเหลี่ยมจะต่างกัน แต่ถ้ามุมเท่ากัน ค่าของ $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$ และ $\\tan \\theta$ จะไม่เปลี่ยนแปลง

ดังนั้น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จึงมักถูกนำมาใช้เป็น "วิธีการหาความยาวโดยใช้มุม ในกรณีที่การวัดความยาวโดยตรงทำได้ยาก" เช่น โจทย์ที่เกี่ยวกับความสูง, ระยะทาง, ความชัน หรือการหมุน ซึ่งมีเรื่องของมุมเข้ามาเกี่ยวข้อง

วิธีแยกแยะ sin, cos, tan ให้รวดเร็ว

เริ่มจากกำหนดมุมอ้างอิง $\\theta$ ขึ้นมาหนึ่งมุม แล้วตั้งชื่อด้านต่างๆ ดังนี้ครับ:

• ด้านตรงข้าม (Opposite): ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุม $\\theta$
• ด้านประชิด (Adjacent): ด้านที่อยู่ติดกับมุม $\\theta$ แต่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก
• ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hypotenuse): ด้านที่ยาวที่สุดซึ่งอยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก

จุดที่หลายคนสับสนบ่อยที่สุดคือ "ด้านตรงข้าม" และ "ด้านประชิด" ไม่ใช่ชื่อที่ตายตัว แต่จะเปลี่ยนไปตามมุมอ้างอิง แม้จะเป็นสามเหลี่ยมรูปเดิม แต่ถ้าเปลี่ยนมุมอ้างอิง ชื่อของสองด้านนี้ก็อาจสลับกันได้

เกณฑ์ในการเลือกใช้สูตรนั้นง่ายมากครับ:

• ถ้าต้องการใช้ ด้านตรงข้าม และ ด้านตรงข้ามมุมฉาก $\rightarrow$ ใช้ $\\sin$
• ถ้าต้องการใช้ ด้านประชิด และ ด้านตรงข้ามมุมฉาก $\rightarrow$ ใช้ $\\cos$
• ถ้าต้องการใช้ ด้านตรงข้าม และ ด้านประชิด $\rightarrow$ ใช้ $\\tan$

นอกจากนี้ หากเป็น $\\cos \\theta \\ne 0$

$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$

ก็สามารถนำมาใช้ได้เช่นกัน

เมื่อก้าวข้ามสามเหลี่ยมมุมฉาก ให้มองเป็น "วงกลมหนึ่งหน่วย"

นิยามของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นเพียงจุดเริ่มต้นครับ ในกรณีที่มุมมีขนาดมากกว่า 90^\\circ หรือเป็นค่าลบ เราจะตีความฟังก์ชันตรีโกณมิติผ่าน "วงกลมหนึ่งหน่วย" (Unit Circle)

หากพิจารณาจุดบนวงกลมที่มีรัศมี $1$ ซึ่งสอดคล้องกับมุม $\\theta$ พิกัดของจุดนั้นจะเป็น

$(\\cos \\theta, \\sin \\theta)$

ดังนั้น เราสามารถมองว่าค่า Cosine คือพิกัดในแนวแกน X และ Sine คือพิกัดในแนวแกน Y การขยายแนวคิดนี้ทำให้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเชื่อมโยงไปสู่เรื่อง กราฟ, คาบ (Period) และปัญหาเรื่องคลื่นได้อย่างเป็นธรรมชาติ

ตัวอย่าง: การหาค่า $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$, $\\tan \\theta$ จากความยาวด้าน

สมมติว่ามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ และด้านประชิดยาว $8$ โดยให้มุม $\\theta$ เป็นมุมที่ติดกับด้านประชิด $8$

ขั้นแรก เราต้องหาความยาวของด้านตรงข้ามก่อน จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

$\\text{맞은편}^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

ดังนั้น ด้านตรงข้ามจึงยาว $6$

คราวนี้ก็นำค่าไปแทนในอัตราส่วนได้เลยครับ:

$\\sin \\theta = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$

$\\cos \\theta = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}$

$\\tan \\theta = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}$

จุดสำคัญของตัวอย่างนี้ไม่ใช่แค่การคำนวณ แต่คือ "ลำดับขั้นตอน" ครับ: กำหนดมุมอ้างอิง $\rightarrow$ ตั้งชื่อด้าน $\rightarrow$ เลือกอัตราส่วนที่ต้องการ แล้วสมการจะตามมาเองอย่างง่ายดาย

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

การตั้งชื่อด้านก่อนกำหนดมุมอ้างอิง

ด้านตรงข้ามและด้านประชิดจะเปลี่ยนไปตามมุมอ้างอิง หากไม่ดูมุมก่อน แม้จะใช้สูตรถูกแต่การแทนค่าอาจจะผิดได้ครับ

การนำนิยามสามเหลี่ยมมุมฉากไปใช้กับสามเหลี่ยมทุกชนิด

นิยามอัตราส่วนด้านของ $\\sin$, $\\cos$, $\\tan$ ใช้ได้โดยตรงกับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น สำหรับสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก เราจำเป็นต้องใช้เครื่องมืออื่น เช่น กฎของ Sine (Law of Sines) หรือ กฎของ Cosine (Law of Cosines)

การลืมเช็กโหมดองศาในเครื่องคิดเลข

หากโจทย์ให้มุมเป็นหน่วยองศา เช่น 30^\\circ, 45^\\circ เครื่องคิดเลขต้องอยู่ในโหมด Degree หากตั้งเป็นโหมด Radian ค่าที่ได้จะผิดเพี้ยนไปทันที

การมองข้ามเงื่อนไขของ Tangent

เนื่องจาก $\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$ ดังนั้นในจุดที่ $\\cos \\theta = 0$ ค่า Tangent จะไม่นิยาม (Undefined) ต้องระวังเงื่อนไขนี้เมื่อมีการจัดรูปสมการ

ฟังก์ชันตรีโกณมิตินำไปใช้อะไรบ้าง

ในวิชาคณิตศาสตร์ จะเริ่มจากโจทย์สามเหลี่ยมมุมฉาก $\rightarrow$ วงกลมหนึ่งหน่วย $\rightarrow$ กราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติ $\rightarrow$ สมการตรีโกณมิติ ส่วนในวิชาฟิสิกส์จะใช้กับเรื่องคลื่นและการสั่นสะเทือน ในทางวิศวกรรมจะใช้กับความชันและการหมุน และในเรื่องการวิเคราะห์พิกัดจะใช้หาทิศทางและระยะทาง

ในช่วงแรกอาจจะดูเหมือนมีสูตรเยอะ แต่จริงๆ แล้วมันคือการนำประโยคที่ว่า "เมื่อกำหนดมุมหนึ่งมุม อัตราส่วนของด้านจะถูกกำหนดไว้แน่นอน" มาเขียนในรูปแบบที่หลากหลายเท่านั้นเองครับ

ขั้นตอนต่อไป ลองฝึกทำดูเลย!

ลองเปลี่ยนตัวเลขแล้วหาคำตอบดูครับ: จากตัวอย่างเมื่อครู่ ถ้าเปลี่ยนด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น $13$ และด้านประชิดเป็น $5$ ด้านตรงข้ามจะยาวเท่าไหร่ และค่า $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$, $\\tan \\theta$ จะเป็นเท่าไหร่บ้าง?

ถ้าคุณแก้โจทย์นี้ได้ทันที แสดงว่าเข้าใจแนวคิดพื้นฐานแล้วครับ ขั้นต่อไปลองศึกษาว่า $\\sin$, $\\cos$, $\\tan$ เชื่อมโยงกันอย่างไรในวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วคุณจะรู้สึกว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่ใช่แค่วิชาท่องจำอีกต่อไป