三角関数 — sin cos tan 公式まとめ

三角関数は、角の大きさと辺の比を結びつけるツールです。学習者がまず出会うのは、次の3つの式です。

直角三角形において、角 $\\theta$ に対して

$\\sin \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{빗변}}, \\quad \\cos \\theta = \\frac{\\text{이웃변}}{\\text{빗변}}, \\quad \\tan \\theta = \\frac{\\text{맞은편}}{\\text{이웃변}}$

となります。まず、これら3つの比が「何を比較しているのか」を正確に掴むことができれば、三角関数の半分を理解したも同然です。

なぜ三角関数が必要なのか

三角関数の核心は、「同じ角を持つ直角三角形では、辺の比が一定である」という点にあります。三角形の大きさが違っても、角が同じであれば $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$, $\\tan \\theta$ の値は変わりません。

そのため、三角関数は「長さを直接測るのが難しいときに、角を利用して長さを求める方法」として多く使われます。高さ、距離、傾斜、回転など、角が関わる問題で特によく登場します。

sin, cos, tan を素早く見分ける方法

基準となる角 $\\theta$ を一つ決め、辺に名前を付けます。

• 対辺（向かい側）：角 $\\theta$ の正反対にある辺
• 隣辺（隣側）：角 $\\theta$ の隣にあるが、斜辺ではない辺
• 斜辺：直角に向かい合う最も長い辺

ここで最も間違いやすいのは、対辺と隣辺は固定された名前ではないという点です。同じ三角形であっても、基準とする角を変えれば、この2つの名前が入れ替わります。

公式を選ぶ基準はシンプルです。

• 対辺と斜辺が必要なら $\\sin$
• 隣辺と斜辺が必要なら $\\cos$
• 対辺と隣辺が必要なら $\\tan$

また、$\\cos \\theta \\ne 0$ であれば

$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$

としても利用できます。

直角三角形を超えて「単位円」で考える

直角三角形による定義はあくまで出発点です。角が 90^\\circ より大きい場合や負の値である場合は、単位円を用いて三角関数を解釈します。

半径が $1$ の円上で、角 $\\theta$ に対応する点を考えると、その座標は

$(\\cos \\theta, \\sin \\theta)$

となります。つまり、コサインは横座標、サインは縦座標として見ることができます。この拡張があるおかげで、三角関数はグラフ、周期、波動の問題へと自然に繋がっていきます。

例題：辺の長さから $\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$, $\\tan \\theta$ を求める

斜辺が $10$、隣辺が $8$ である直角三角形を考えてみましょう。角 $\\theta$ は隣辺 $8$ に接している角とします。

まず、対辺の長さを求める必要があります。ピタゴラスの定理（三平方の定理）より

$\\text{맞은편}^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$

となるため、対辺は $6$ です。

あとは各比にそのまま当てはめれば

$\\sin \\theta = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$

$\\cos \\theta = \\frac{8}{10} = \\frac{4}{5}$

$\\tan \\theta = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}$

となります。

この例題で重要なのは、計算そのものよりも「手順」です。基準となる角を決め、辺に名前を付け、必要な比を選ぶ。そうすれば式は自然に導き出されます。

よくある間違い

基準角を決める前に辺の名前を付けてしまう

対辺と隣辺は基準となる角によって変わります。先に角を確認しないと、公式が合っていても代入する値が間違ってしまうことがあります。

直角三角形の定義をすべての三角形にそのまま適用してしまう

$\\sin$, $\\cos$, $\\tan$ の辺の比の定義は、直角三角形で直接使う定義です。直角ではない三角形では、通常、正弦定理や余弦定理といった別のツールが必要になります。

計算機の角度モードを確認し忘れる

問題が度数法の 30^\\circ, 45^\\circ のような角で与えられている場合、計算機も degree モードである必要があります。radian モードのままだと、全く異なる値が出てしまいます。

タンジェントの条件を見落とす

$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta}$ であるため、$\\cos \\theta = 0$ となる場所ではタンジェントは定義されません。式を変形する際は、この条件を合わせて確認する必要があります。

三角関数はどこで使われるか

学校数学では、直角三角形の問題から始まり、単位円、三角関数のグラフ、三角方程式へと発展します。物理では波動や振動、工学では傾斜や回転、座標解析では方向と距離の問題に頻繁に結びつきます。

最初は公式が多く見えるかもしれませんが、実際には「一つの角が決まれば辺の比が決まる」という一文を、さまざまな形式で書き換えているだけなのです。

すぐに試せる次のステップ

数値を少し変えて解いてみましょう。先ほどの例題で、斜辺を $13$、隣辺を $5$ に変えた場合、対辺はいくらになり、$\\sin \\theta$, $\\cos \\theta$, $\\tan \\theta$ はそれぞれいくらになるでしょうか？

この問題がすぐに解ければ、基本概念はバッチリです。次は、単位円において同じ $\\sin$, $\\cos$, $\\tan$ がどのように繋がっているかを確認してみてください。そうすれば、三角関数がずっと「暗記科目」ではなくなるはずです。