Teoría de números — primos, divisibilidad y aritmética modular

La teoría de números es el estudio de los números enteros. Si quieres entender los números primos, la divisibilidad o la aritmética modular, ya estás viendo el núcleo de la teoría de números.

Un número primo es un entero mayor que $1$ con exactamente dos divisores positivos: $1$ y él mismo. La divisibilidad pregunta si un entero divide a otro sin dejar residuo. La aritmética modular sigue los residuos, por eso muchas personas la llaman aritmética del reloj.

Qué abarca la teoría de números

Estas tres ideas encajan entre sí:

• Los primos son los bloques básicos de construcción de los enteros positivos.
• La divisibilidad te dice cuándo un entero encaja exactamente en otro.
• La aritmética modular reescribe preguntas de divisibilidad como preguntas sobre residuos.

Por ejemplo, decir que "$a$ es divisible por $n$" es lo mismo que decir

$$a \equiv 0 \pmod n$$

Así que una pregunta de divisibilidad a menudo puede reescribirse como una pregunta sobre residuos.

Números primos: los bloques de construcción

Los números primos empiezan así:

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$$

El número $2$ es el único primo par. Todo otro número par es divisible por $2$, así que no puede ser primo.

Si un entero positivo mayor que $1$ no es primo, se llama compuesto. Por ejemplo, $21$ es compuesto porque

$$21 = 3 \cdot 7$$

Los primos importan porque todo entero mayor que $1$ puede escribirse como un producto de números primos, salvo el orden de los factores. Esa es la idea detrás de la factorización prima.

Divisibilidad: cuándo un número encaja exactamente en otro

Si $a$ y $b$ son enteros con $b \ne 0$, entonces "$b$ divide a $a$" significa que existe un entero $k$ tal que

$$a = bk$$

Esto se escribe como

$$b \mid a$$

Por ejemplo, $4 \mid 20$ porque $20 = 4 \cdot 5$. Pero $4 \nmid 22$ porque al dividir $22$ entre $4$ queda un residuo.

La divisibilidad es el lenguaje detrás de los factores, los múltiplos, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. También explica pruebas conocidas:

• Un número es divisible por $2$ si su última cifra es par.
• Un número es divisible por $5$ si su última cifra es $0$ o $5$.
• Un número es divisible por $3$ si la suma de sus cifras es divisible por $3$.

Esa última regla no es un truco. Viene de la aritmética modular.

Aritmética modular: trabajar con residuos

Cuando dos enteros dejan el mismo residuo al dividirse entre $n$, se dice que son congruentes módulo $n$. Escribimos

$$a \equiv b \pmod n$$

Esto significa que $n$ divide a $a-b$.

Por ejemplo,

$$17 \equiv 5 \pmod{12}$$

porque $17$ y $5$ dejan residuo $5$ al dividirse entre $12$, y también porque $12$ divide a $17 - 5 = 12$.

Esto es útil porque puedes reemplazar un número por otro congruente más simple. En un reloj de $12$ horas, sumar $15$ horas tiene el mismo efecto que sumar $3$ horas porque

$$15 \equiv 3 \pmod{12}$$

Ejemplo resuelto: ¿por qué $231$ es divisible por $3$?

Tomemos el número $231$.

Primero, escríbelo en forma de valor posicional:

$$231 = 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1$$

Ahora trabaja módulo $3$. Como

$$10 \equiv 1 \pmod 3$$

se sigue que

$$100 = 10^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 3$$

Entonces

$$231 \equiv 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \equiv 2 + 3 + 1 = 6 \equiv 0 \pmod 3$$

Como $231 \equiv 0 \pmod 3$, el número es divisible por $3$.

Esto explica la regla de la suma de cifras: en base $10$, cada potencia de $10$ es congruente con $1$ módulo $3$, así que el número completo tiene el mismo residuo que la suma de sus cifras.

Y una vez que divides,

$$231 = 3 \cdot 77 = 3 \cdot 7 \cdot 11$$

así que $231$ es compuesto, no primo.

Errores comunes en teoría de números

Tratar al $1$ como primo

$1$ no es primo. Un primo debe tener exactamente dos divisores positivos, y $1$ solo tiene uno.

Olvidar la condición en divisibilidad

La afirmación $b \mid a$ solo tiene sentido con $b \ne 0$. No se permite dividir entre cero.

Confundir igualdad y congruencia

$17 \equiv 5 \pmod{12}$ no significa que $17 = 5$. Significa que difieren en un múltiplo de $12$.

Usar demasiado las reglas de divisibilidad

Algunas pruebas son rápidas porque la aritmética en base $10$ hace que funcionen bien. Eso no significa que todo divisor tenga una regla simple basada en cifras.

Dónde aparece la teoría de números

A nivel escolar, la teoría de números aparece en la factorización, los problemas de residuos, las demostraciones de divisibilidad y las preguntas de tipo reloj. También aparece cuando simplificas fracciones, buscas factores comunes o resuelves problemas con ciclos repetitivos.

A un nivel más profundo, los primos y la aritmética modular también son centrales en criptografía y ciencias de la computación. No necesitas ese contexto para usar estas ideas, pero ayuda a explicar por qué la teoría de números sigue apareciendo en contextos aplicados.

Prueba tu propia versión

Intenta el mismo razonamiento con $462$. Primero usa la suma de sus cifras para comprobar la divisibilidad por $3$, y luego factorízalo lo suficiente para decidir si es primo o compuesto.

Si quieres comprobar tu método, resuelve un problema parecido de divisibilidad o residuos en un solucionador matemático y compara los pasos de aritmética modular con los tuyos.