Teoria dei numeri — numeri primi, divisibilità e aritmetica modulare

La teoria dei numeri è lo studio dei numeri interi. Se vuoi capire i numeri primi, la divisibilità o l’aritmetica modulare, stai già guardando il nucleo della teoria dei numeri.

Un numero primo è un intero maggiore di $1$ con esattamente due divisori positivi: $1$ e se stesso. La divisibilità chiede se un intero divide un altro senza resto. L’aritmetica modulare tiene traccia dei resti, ed è per questo che spesso viene chiamata aritmetica dell’orologio.

Cosa comprende la teoria dei numeri

Queste tre idee sono collegate tra loro:

• I numeri primi sono i mattoni fondamentali degli interi positivi.
• La divisibilità ti dice quando un intero entra esattamente in un altro.
• L’aritmetica modulare riscrive le domande sulla divisibilità come domande sui resti.

Per esempio, dire che "$a$ è divisibile per $n$" equivale a dire

$$a \equiv 0 \pmod n$$

Quindi una domanda sulla divisibilità può spesso essere riscritta come una domanda sui resti.

Numeri primi: i mattoni fondamentali

I numeri primi iniziano con

$$2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$$

Il numero $2$ è l’unico numero primo pari. Ogni altro numero pari è divisibile per $2$, quindi non può essere primo.

Se un intero positivo maggiore di $1$ non è primo, si chiama composto. Per esempio, $21$ è composto perché

$$21 = 3 \cdot 7$$

I numeri primi sono importanti perché ogni intero maggiore di $1$ può essere scritto come prodotto di numeri primi, a meno dell’ordine dei fattori. Questa è l’idea alla base della scomposizione in fattori primi.

Divisibilità: quando un numero entra esattamente in un altro

Se $a$ e $b$ sono interi con $b \ne 0$, allora "$b$ divide $a$" significa che esiste un intero $k$ tale che

$$a = bk$$

Questo si scrive come

$$b \mid a$$

Per esempio, $4 \mid 20$ perché $20 = 4 \cdot 5$. Ma $4 \nmid 22$ perché dividendo $22$ per $4$ si ottiene un resto.

La divisibilità è il linguaggio alla base di fattori, multipli, massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Spiega anche alcune regole note:

• Un numero è divisibile per $2$ se la sua ultima cifra è pari.
• Un numero è divisibile per $5$ se la sua ultima cifra è $0$ oppure $5$.
• Un numero è divisibile per $3$ se la somma delle sue cifre è divisibile per $3$.

Quest’ultima regola non è un trucco. Deriva dall’aritmetica modulare.

Aritmetica modulare: lavorare con i resti

Quando due interi lasciano lo stesso resto nella divisione per $n$, si dicono congruenti modulo $n$. Si scrive

$$a \equiv b \pmod n$$

Questo significa che $n$ divide $a-b$.

Per esempio,

$$17 \equiv 5 \pmod{12}$$

perché $17$ e $5$ lasciano entrambi resto $5$ quando vengono divisi per $12$, e anche perché $12$ divide $17 - 5 = 12$.

Questo è utile perché puoi sostituire un numero con un altro più semplice che gli sia congruente. Su un orologio da $12$ ore, aggiungere $15$ ore ha lo stesso effetto che aggiungerne $3$ perché

$$15 \equiv 3 \pmod{12}$$

Esempio svolto: perché $231$ è divisibile per $3$?

Prendiamo il numero $231$.

Per prima cosa, scrivilo in forma posizionale:

$$231 = 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 1$$

Ora lavoriamo modulo $3$. Poiché

$$10 \equiv 1 \pmod 3$$

ne segue che

$$100 = 10^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod 3$$

Quindi

$$231 \equiv 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \equiv 2 + 3 + 1 = 6 \equiv 0 \pmod 3$$

Poiché $231 \equiv 0 \pmod 3$, il numero è divisibile per $3$.

Questo spiega la regola della somma delle cifre: in base $10$, ogni potenza di $10$ è congruente a $1$ modulo $3$, quindi l’intero numero ha lo stesso resto della somma delle sue cifre.

E una volta eseguita la divisione,

$$231 = 3 \cdot 77 = 3 \cdot 7 \cdot 11$$

quindi $231$ è composto, non primo.

Errori comuni nella teoria dei numeri

Considerare $1$ come primo

$1$ non è primo. Un numero primo deve avere esattamente due divisori positivi, e $1$ ne ha solo uno.

Dimenticare la condizione nella divisibilità

L’affermazione $b \mid a$ ha senso solo con $b \ne 0$. La divisione per zero non è ammessa.

Confondere uguaglianza e congruenza

$17 \equiv 5 \pmod{12}$ non significa che $17 = 5$. Significa che differiscono di un multiplo di $12$.

Usare troppo le regole di divisibilità

Alcuni test sono rapidi perché l’aritmetica in base $10$ li fa funzionare bene. Questo non significa che ogni divisore abbia una semplice regola sulle cifre.

Dove compare la teoria dei numeri

A livello scolastico, la teoria dei numeri compare nella scomposizione in fattori, nei problemi sui resti, nelle dimostrazioni di divisibilità e nelle domande in stile orologio. Compare anche quando semplifichi frazioni, cerchi fattori comuni o risolvi problemi con cicli ripetuti.

A un livello più avanzato, i numeri primi e l’aritmetica modulare sono centrali anche nella crittografia e nell’informatica. Non ti serve questa base per usare le idee, ma aiuta a capire perché la teoria dei numeri continua a riapparire in contesti applicati.

Prova una tua versione

Prova lo stesso ragionamento con $462$. Per prima cosa usa la somma delle sue cifre per verificare la divisibilità per $3$, poi scomponilo abbastanza da decidere se è primo o composto.

Se vuoi controllare il tuo metodo, risolvi un problema simile di divisibilità o di resti in un risolutore matematico e confronta i passaggi di aritmetica modulare con i tuoi.