Exponential- und Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen sind im Grunde dasselbe Verhältnis, nur aus einer anderen Perspektive betrachtet. Wenn $2^3=8$ gilt, lesen wir das bei der Exponentialfunktion als: „Man setzt den Exponenten $3$ ein, um $8$ zu erhalten“. Bei der Logarithmusfunktion lesen wir es als: „Um $8$ zu erhalten, muss der Exponent $3$ sein“. Wenn man diese Verbindung in Prüfungen klar im Blick hat, werden viele Aufgaben deutlich einfacher.

Im Bereich der reellen Zahlen, mit der Basis $a$, wobei $a>0$ und $a \ne 1$ gelten, nennen wir

$y=a^x$

die Exponentialfunktion und

$y=\log_a x$

die Logarithmusfunktion. Da diese beiden Funktionen zueinander invers sind, sind ihre Graphen bei gleicher Basis symmetrisch zur Geraden $y=x$.

Exponential- und Logarithmusfunktionen auf einen Blick verstehen

Bei der Exponentialfunktion $y=a^x$ wird die Eingabe $x$ in die Position des Exponenten gesetzt. Daher eignet sie sich hervorragend für Situationen, in denen Werte nicht um einen konstanten Betrag, sondern in einem konstanten Verhältnis wachsen oder sinken.

Die Logarithmusfunktion $y=\log_a x$ liest diese Beziehung genau rückwärts. Der Kernpunkt ist folgende Zeile:

$\log_a x = y \iff a^y = x$

Diese Gleichung bedeutet, dass der Logarithmus weniger eine neue Rechenmethode ist, sondern vielmehr eine „Notation, die nach dem Exponenten fragt“. Zum Beispiel ist $\log_2 8 = 3$ im Grunde die Frage: „Mit welcher Potenz muss man $2$ potenzieren, um $8$ zu erhalten?“

Wie unterscheiden sich Graphen und Definitionsbereiche?

Wenn $a>1$ gilt, sind sowohl die Exponential- als auch die Logarithmusfunktion steigend. Umgekehrt sind beide fallend, wenn $0<a<1$ gilt. Allerdings tauschen Eingabe und Ausgabe ihre Rollen.

Der Definitionsbereich der Exponentialfunktion $y=a^x$ umfasst alle reellen Zahlen, und die Funktionswerte sind immer positiv. Das heißt:

$a^x > 0$

Daher verläuft der Graph niemals unterhalb der $x$-Achse. Im Gegensatz dazu ist die Logarithmusfunktion $y=\log_a x$ nur definiert, wenn die Eingabe positiv ist:

$x > 0$

Aus diesem Grund ist der Wertebereich der Exponentialfunktion exakt mit dem Definitionsbereich der Logarithmusfunktion verknüpft.

Diese Beziehung zeigt sich auch in den Graphen. Wenn $2^3=8$ gilt, ist ein Punkt auf der Exponentialfunktion $(3,8)$, während der entsprechende Punkt auf der Logarithmusfunktion $(8,3)$ ist. Dass die Koordinaten einfach vertauscht werden, liegt eben an der inversen Beziehung.

Beispiel: Warum wird $2^x=10$ als Logarithmus einfacher?

Die Verbindung zwischen Exponent und Logarithmus wird besonders deutlich bei Gleichungen, in denen der Exponent unbekannt ist. Betrachten wir folgenden Ausdruck:

$2^x = 10$

Da $2^3=8$ und $2^4=16$ gelten, liegt $x$ zwischen $3$ und $4$. Mit ganzzahligen Exponenten ist es jedoch schwierig, den exakten Wert sofort zu bestimmen. Hier hilft der Logarithmus, um „den Exponenten selbst“ als Antwort schreiben zu können:

$x = \log_2 10$

Das bedeutet, die Logarithmusfunktion verrät uns, welcher Exponent nötig ist, um das Ergebnis $10$ zu erzielen. Mit einem Taschenrechner erhält man den Näherungswert:

$x \approx 3.32$

Der Kern dieses Beispiels ist: Wenn man das Ergebnis kennt, aber den Exponenten nicht, ist die Logarithmusfunktion die natürliche Lösung.

Häufige Fehlerquellen

Ein häufiger Fehler ist es, $0$ oder negative Zahlen in die Logarithmusfunktion einzusetzen. Im Bereich der reellen Zahlen muss bei $\log_a x$ zwingend $x>0$ gelten.

Auch die Bedingungen für die Basis werden oft vergessen. Sowohl bei Exponential- als auch bei Logarithmusfunktionen muss die Basis immer $a>0$ und $a \ne 1$ sein.

Man darf die Logarithmusfunktion nicht mit dem Kehrwert verwechseln. Die Logarithmusfunktion ist nicht $\frac{1}{a^x}$, sondern die inverse Funktion der Exponentialfunktion.

Ein weiterer Fehler ist die Annahme, dass diese Funktionen „immer steigen“. Wenn $a>1$ gilt, steigen sie zwar, aber bei $0<a<1$ fallen sowohl die Exponential- als auch die Logarithmusfunktion.

Zudem passieren oft Fehler bei Formeln, die so nicht existieren, wie zum Beispiel $\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y$. Die Logarithmengesetze lassen sich nur anwenden, wenn die Form korrekt ist. Es ist daher sicherer, zuerst die Definitionen und Bedingungen zu prüfen.

Wo werden Exponential- und Logarithmusfunktionen eingesetzt?

Exponentialfunktionen werden häufig verwendet, um Phänomene zu modellieren, die in einem konstanten Verhältnis wachsen oder schrumpfen, wie zum Beispiel Zinseszinsen, Populationswachstum oder radioaktiver Zerfall. Wenn eine Veränderung proportional zur aktuellen Größe erfolgt, führt dies meist zu einer Exponentialfunktion.

Logarithmusfunktionen werden für die gegenteilige Fragestellung genutzt. Wenn bekannt ist, wie stark sich ein Ergebnis verändert hat, helfen sie dabei, die vergangene Zeit oder den benötigten Exponenten zu finden.

Jetzt direkt mit ähnlichen Aufgaben ausprobieren

Versuchen Sie zuerst, $3^4=81$ in $\log_3 81=4$ umzuschreiben. Wenn Sie dann $5^x=40$ als $x=\log_5 40$ lesen, wird Ihnen viel deutlicher, warum Exponential- und Logarithmusfunktionen ein unzertrennliches Paar sind.