ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

ทฤษฎีบทงาน-พลังงานกล่าวว่า งานลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุมีค่าเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ของวัตถุ:

$$W_{net} = \Delta K$$

สมการบรรทัดเดียวนี่คือใจความสำคัญทั้งหมด งานลัพธ์เป็นบวกทำให้วัตถุเคลื่อนที่เร็วขึ้น และงานลัพธ์เป็นลบทำให้วัตถุช้าลง

ถ้าคุณรู้ว่าแรงต่าง ๆ กระทำตลอดระยะทางอย่างไร ทฤษฎีบทนี้มักช่วยบอกการเปลี่ยนแปลงของความเร็วได้โดยตรง คุณไม่จำเป็นต้องแก้หาความเร่งในทุกขณะ

สูตรทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

สำหรับวัตถุที่จำลองเป็นอนุภาคในกลศาสตร์คลาสสิก

$$W_{net} = K_f - K_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$$

โดยที่ $K_i$ และ $K_f$ คือพลังงานจลน์เริ่มต้นและพลังงานจลน์สุดท้าย คำว่า "ลัพธ์" สำคัญมาก เพราะทฤษฎีบทนี้ใช้ผลงานรวมจากแรงทุกแรง ไม่ใช่งานจากแรงใดแรงหนึ่งที่เลือกมา

ทำไมงานลัพธ์จึงสำคัญ

งานคือพลังงานที่ถ่ายโอนโดยแรงซึ่งกระทำผ่านการกระจัด แรงจะทำงานเป็นบวกถ้ามีองค์ประกอบในทิศเดียวกับการเคลื่อนที่ เป็นลบถ้าชี้ต้านการเคลื่อนที่ และเป็นศูนย์ถ้าตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ตลอดเวลา

นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมแรงเสียดทานมักทำให้พลังงานจลน์ลดลง ในขณะที่แรงผลักที่กระทำอาจทำให้พลังงานจลน์เพิ่มขึ้น ทฤษฎีบทนี้จะรวมผลจากทุกแรงเข้าด้วยกัน แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์กับการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว

ตัวอย่างทำโจทย์: การหาระยะหยุด

บล็อกมวล $2\,\mathrm{kg}$ ลื่นบนพื้นราบด้วยความเร็วต้น $4\,\mathrm{m/s}$ แรงเสียดทานจลน์มีขนาดคงที่ $8\,\mathrm{N}$ และมีทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ บล็อกจะลื่นไปได้ไกลเท่าไรก่อนหยุด?

เริ่มจากพลังงานจลน์เริ่มต้นและพลังงานจลน์สุดท้าย:

$$K_i = \frac{1}{2}(2)(4^2) = 16\,\mathrm{J}$$ $$K_f = 0$$

ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์คือ

$$\Delta K = K_f - K_i = -16\,\mathrm{J}$$

งานลัพธ์ในกรณีนี้มาจากแรงเสียดทาน บนการกระจัดในแนวระดับ แรงปฏิกิริยาปกติและแรงโน้มถ่วงไม่ทำงาน เพราะตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ ถ้าระยะหยุดคือ $d$ จะได้ว่า

$$W_{net} = -8d$$

ใช้ทฤษฎีบท:

$$-8d = -16$$ $$d = 2\,\mathrm{m}$$

ดังนั้นบล็อกลื่นไป $2\,\mathrm{m}$ ก่อนหยุด งานลบจากแรงเสียดทานสอดคล้องกับการสูญเสียพลังงานจลน์ $16\,\mathrm{J}$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในทฤษฎีบทงาน-พลังงาน

• ใช้งานจากแรงเพียงแรงเดียว ทั้งที่ทฤษฎีบทต้องใช้งานลัพธ์จากแรงทุกแรง
• ตีความงานลบว่า "วัตถุเคลื่อนที่ถอยหลัง" ทั้งที่จริงหมายถึงพลังงานจลน์ลดลงภายใต้ข้อตกลงเรื่องเครื่องหมายที่เลือกใช้
• คิดว่าทฤษฎีบทนี้ใช้ได้เฉพาะกับแรงคงที่ ทั้งที่ปริมาณสำคัญคืองานลัพธ์รวมตลอดการเคลื่อนที่
• สับสนระหว่างทฤษฎีบทงาน-พลังงานกับกฎการอนุรักษ์พลังงานกล

ควรใช้ทฤษฎีบทงาน-พลังงานเมื่อไร

ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์มากโดยเฉพาะเมื่อคุณสนใจการเปลี่ยนแปลงของความเร็วตลอดระยะทาง ไม่ใช่ประวัติการเคลื่อนที่ทั้งหมดตามเวลา มักพบในโจทย์เกี่ยวกับการเบรก ทางลาด สปริง แรงเสียดทาน และหลายกรณีที่มีแรงแปรผัน

บ่อยครั้งนี่เป็นวิธีที่เร็วที่สุด เมื่อกฎข้อที่สองของนิวตันจะบังคับให้คุณต้องหา ความเร่งก่อน ถ้าคุณคำนวณงานลัพธ์ได้ คุณก็มักข้ามไปหาการเปลี่ยนแปลงของความเร็วได้เลย

ทฤษฎีบทงาน-พลังงาน เทียบกับ การอนุรักษ์พลังงาน

ทฤษฎีบทงาน-พลังงานกล่าวเสมอว่า

$$W_{net} = \Delta K$$

ข้อความนี้มีความทั่วไปมากในกลศาสตร์คลาสสิกระดับต้น ส่วนการอนุรักษ์พลังงานกลต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติม เช่น กรณีที่สามารถอธิบายพลังงานได้โดยไม่มีการสูญเสียจากแรงเสียดทานหรือผลของแรงไม่อนุรักษ์อื่น ๆ

การแยกสองแนวคิดนี้ออกจากกันจะช่วยป้องกันความสับสนได้มาก ทฤษฎีบทงาน-พลังงานยังคงใช้ได้แม้พลังงานกลจะไม่ถูกอนุรักษ์

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองสร้างโจทย์แบบเดียวกันด้วยตัวเอง โดยเพิ่มความเร็วต้นเป็นสองเท่า หรือลดแรงเสียดทานลงครึ่งหนึ่ง ลองคาดเดาระยะหยุดใหม่ก่อน แล้วค่อยคำนวณและเปรียบเทียบว่าความเข้าใจของคุณตรงกับผลลัพธ์หรือไม่