ทฤษฎีริง — นิยาม อุดมคติ และตัวอย่าง

ทฤษฎีริงศึกษากลุ่มของวัตถุที่การบวกและการคูณทำงานร่วมกันอย่างเป็นระบบ แบบจำลองหลักคือจำนวนเต็ม: เราสามารถบวก ลบ และคูณได้ และการดำเนินการเหล่านี้เป็นไปตามกฎที่แน่นอน

ริงไม่ใช่แค่ “เซตที่มีการคูณ” เท่านั้น การจะเป็นริงได้ การบวกต้องมีสมบัติเหมือนในจำนวนเต็ม การคูณต้องเป็นสมพันธ์เชิงการจัดหมู่ และการคูณต้องแจกแจงเหนือการบวก

ริงในคณิตศาสตร์คืออะไร?

ริง $R$ คือเซตที่มีการดำเนินการสองอย่าง คือ $+$ และ $\cdot$ โดยมีเงื่อนไขว่า:

1. $(R,+)$ เป็นกรุปอาเบเลียน
2. การคูณเป็นสมพันธ์เชิงการจัดหมู่: $(ab)c=a(bc)$ สำหรับทุก $a,b,c \in R$
3. การคูณแจกแจงเหนือการบวก:

$$a(b+c)=ab+ac$$

และ

$$(a+b)c=ac+bc$$

เงื่อนไขข้อแรกหมายความว่า การบวกมีสมาชิกศูนย์ ทุกสมาชิกมีอินเวอร์สการบวก การบวกเป็นสมพันธ์เชิงการจัดหมู่ และการบวกสลับที่ได้ พูดง่าย ๆ คือ ภายใต้การบวก เซตนี้มีพฤติกรรมเหมือนจำนวนเต็ม

หนังสือบางเล่มยังกำหนดให้ต้องมีเอกลักษณ์การคูณ $1$ ด้วย บางเล่มเน้นริงสลับที่ ซึ่งมีสมบัติว่า $ab=ba$ เงื่อนไขเพิ่มเติมเหล่านี้สำคัญมาก แต่ไม่ได้ถูกรวมอยู่ในนิยามของริงทุกแบบ

อุดมคติทำหน้าที่อะไรในทฤษฎีริง

อุดมคติคือสับเซตที่ยังคงอยู่ภายในเดิมเมื่อคูณด้วยสมาชิกจากริงทั้งหมด ความคงตัวนี้เองที่ทำให้สร้างริงผลหารได้ คล้ายกับที่กรุปย่อยปกติทำให้สร้างกรุปผลหารได้

ถ้า $R$ เป็นริงสลับที่ สับเซต $I \subseteq R$ จะเป็นอุดมคติเมื่อ:

1. $I$ ปิดภายใต้การบวกและอินเวอร์สการบวก
2. สำหรับทุก $r \in R$ และทุก $x \in I$ ผลคูณ $rx$ ยังคงอยู่ใน $I$

ในริงไม่สลับที่ ต้องแยกเป็นอุดมคติซ้าย อุดมคติขวา และอุดมคติสองข้าง แต่ในริงสลับที่ ความแตกต่างเหล่านี้จะหายไป

ตัวอย่างคำนวณ: ทำไม $2\mathbb{Z}$ จึงเป็นอุดมคติของ $\mathbb{Z}$

ริง $\mathbb{Z}$ ที่ใช้การบวกและการคูณตามปกติเป็นตัวอย่างมาตรฐานแรกของริง นอกจากนี้ยังเป็นริงสลับที่และมีเอกลักษณ์การคูณ $1$

ตอนนี้พิจารณาสับเซตของจำนวนเต็มคู่:

$$2\mathbb{Z}=\{2k : k \in \mathbb{Z}\}$$

เซตนี้เป็นอุดมคติของ $\mathbb{Z}$ เพราะผ่านการตรวจสอบสองข้อข้างต้น

อย่างแรก มันปิดภายใต้การบวก:

$$2a+2b=2(a+b)$$

ดังนั้นผลบวกของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนยังคงเป็นจำนวนคู่ นอกจากนี้ยังปิดภายใต้อินเวอร์สการบวก เพราะว่า

$$-(2a)=2(-a)$$

ซึ่งยังคงเป็นจำนวนคู่

อย่างที่สอง มันดูดซับการคูณด้วยจำนวนเต็มใด ๆ ถ้า $r \in \mathbb{Z}$ และ $2a \in 2\mathbb{Z}$ แล้ว

$$r(2a)=2(ra)$$

ซึ่งก็ยังเป็นจำนวนคู่อีกเช่นกัน

ดังนั้น $2\mathbb{Z}$ จึงไม่ใช่แค่สับเซตที่มีรูปแบบบางอย่างเท่านั้น แต่มันยังคงอยู่ภายในตัวเองภายใต้การบวก อินเวอร์สการบวก และการคูณด้วยจำนวนเต็มใด ๆ ซึ่งตรงกับสิ่งที่อุดมคติต้องมีทุกประการ

ตัวอย่างนี้ควรจำไว้ เพราะรูปแบบเดียวกันนี้ปรากฏซ้ำแล้วซ้ำอีก: อุดมคติคือสับเซตที่ริงทั้งหมดไม่สามารถผลักให้ออกนอกที่เดิมได้ด้วยการคูณ

ตัวอย่างที่ไม่ใช่: จำนวนเต็มคี่ไม่เป็นอุดมคติ

จำนวนเต็มคี่ไม่เป็นอุดมคติของ $\mathbb{Z}$

มันไม่ปิดภายใต้การบวกตั้งแต่แรก เพราะ คี่ $+$ คี่ $=$ คู่ นอกจากนี้ยังไม่ผ่านเงื่อนไขการดูดซับด้วย เช่น

$$2 \cdot 3 = 6$$

และ $6$ ไม่ใช่จำนวนคี่

นี่คือความแตกต่างสำคัญ อุดมคติไม่ใช่แค่สับเซตที่สังเกตเห็นรูปแบบได้เท่านั้น แต่ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขการปิดและการดูดซับอย่างครบถ้วน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในทฤษฎีริง

สับสนระหว่างการปิดภายใต้การบวกกับการทดสอบอุดมคติแบบครบถ้วน

การปิดภายใต้การบวกอย่างเดียวไม่พอ คุณยังต้องมีการปิดภายใต้อินเวอร์สการบวก และสมบัติการดูดซับภายใต้การคูณด้วยสมาชิกใด ๆ ของริง

คิดว่าความสลับที่เป็นเรื่องอัตโนมัติ

ตัวอย่างแรก ๆ จำนวนมากเป็นริงสลับที่ แต่ไม่ใช่ทุกริงจะสลับที่ ริงของเมทริกซ์เป็นตัวอย่างโต้แย้งมาตรฐาน

สมมติว่าทุกริงต้องมี $1$

ผู้เขียนหลายคนกำหนดให้ต้องมีเอกลักษณ์การคูณ และอีกหลายคนก็ไม่กำหนด เมื่ออ่านหรือเขียนเรื่องทฤษฎีริง ควรระบุข้อตกลงนี้ถ้ามันมีผลต่อเนื้อหา

สับสนระหว่างสับริงกับอุดมคติ

สับริงคือริงที่เล็กกว่าซึ่งอยู่ภายในริงหนึ่ง ๆ ส่วนอุดมคติถูกออกแบบมาให้ทำงานร่วมกับการคูณจากริงทั้งหมดได้ดี ทั้งสองแนวคิดเกี่ยวข้องกัน แต่ไม่ใช่เงื่อนไขเดียวกัน

ทฤษฎีริงถูกใช้ที่ไหน

ทฤษฎีริงปรากฏในเลขคณิตมอดูลาร์ พีชคณิตของพหุนาม ทฤษฎีจำนวน และเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นอกจากนี้ยังเป็นส่วนหนึ่งของภาษาทางคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลังโครงสร้างการเข้ารหัสบางแบบ

คุณไม่จำเป็นต้องรู้การประยุกต์ขั้นสูงเหล่านั้นเพื่อเข้าใจแนวคิดพื้นฐาน สำหรับการเริ่มต้น ให้มองว่าทฤษฎีริงคือการศึกษาระบบที่คล้ายจำนวน ซึ่งการบวกและการคูณมีปฏิสัมพันธ์กันอย่างคาดเดาได้

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองทำด้วยตัวเองกับ $3\mathbb{Z}$ หรือ $5\mathbb{Z}$ ภายใน $\mathbb{Z}$ ตรวจสอบเงื่อนไขสองข้อเดิม: การปิดภายใต้การบวกและอินเวอร์สการบวก จากนั้นตรวจสอบการดูดซับภายใต้การคูณด้วยจำนวนเต็มใด ๆ