環論 — 定義・イデアル・具体例

環論は、加法と乗法が一定の規則のもとで一緒に働く集合を扱う分野です。基本となるモデルは整数で、足し算・引き算・掛け算ができ、それらの演算は信頼できる法則に従います。

環は単なる「乗法のある集合」ではありません。環であるためには、加法が整数と同じように振る舞い、乗法が結合的であり、さらに乗法が加法に対して分配的でなければなりません。

数学でいう環とは？

環 $R$ とは、$+$ と $\cdot$ という 2 つの演算をもつ集合で、次を満たすものです。

1. $(R,+)$ はアーベル群である。
2. 乗法は結合的である：任意の $a,b,c \in R$ に対して $(ab)c=a(bc)$。
3. 乗法は加法に対して分配的である：

$$a(b+c)=ab+ac$$

および

$$(a+b)c=ac+bc$$

最初の条件は、加法について零元があり、すべての元が加法逆元をもち、加法が結合的で、しかも可換であることを意味します。平たく言えば、加法に関してその集合は整数のように振る舞います。

本によっては、乗法単位元 $1$ の存在も環の定義に含めます。また、$ab=ba$ が成り立つ可換環に重点を置くこともあります。これらは重要な追加条件ですが、すべての環の定義に最初から含まれているわけではありません。

環論でイデアルがすること

イデアルとは、環全体の元を掛けてもその中にとどまる部分集合です。この安定性があるからこそ、正規部分群によって商群を作れるのと同じように、商環を作ることができます。

$R$ を可換環とするとき、部分集合 $I \subseteq R$ がイデアルであるとは、次を満たすことです。

1. $I$ は加法と加法逆元について閉じている。
2. 任意の $r \in R$ と任意の $x \in I$ に対して、積 $rx$ も再び $I$ に入る。

非可換環では、左イデアル・右イデアル・両側イデアルを区別する必要があります。可換環では、その違いはなくなります。

具体例：なぜ $2\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ のイデアルなのか

通常の加法と乗法をもつ環 $\mathbb{Z}$ は、環の最初の標準的な例です。これは可換でもあり、乗法単位元 $1$ ももちます。

では、偶数全体の部分集合を見てみましょう。

$$2\mathbb{Z}=\{2k : k \in \mathbb{Z}\}$$

この集合は、上の 2 つの条件を満たすので $\mathbb{Z}$ のイデアルです。

まず、加法について閉じています。

$$2a+2b=2(a+b)$$

したがって、2 つの偶数の和はやはり偶数です。さらに、加法逆元についても閉じています。なぜなら

$$-(2a)=2(-a)$$

であり、これも偶数だからです。

次に、任意の整数による乗法を吸収します。$r \in \mathbb{Z}$ かつ $2a \in 2\mathbb{Z}$ なら、

$$r(2a)=2(ra)$$

となり、これも再び偶数です。

したがって、$2\mathbb{Z}$ は単に規則性のある部分集合ではありません。加法、加法逆元、そして任意の整数による乗法に対して自分の中にとどまります。これはまさにイデアルに必要な性質です。

この例は覚えておく価値があります。同じパターンが何度も現れるからです。イデアルとは、環全体が乗法によって外へ押し出せない部分集合なのです。

反例：奇数全体はイデアルではない

奇数全体は $\mathbb{Z}$ のイデアルではありません。

まず、加法について閉じていません。奇数 $+$ 奇数 $=$ 偶数だからです。さらに、吸収条件も満たしません。たとえば、

$$2 \cdot 3 = 6$$

ですが、$6$ は奇数ではありません。

ここが重要な対比です。イデアルは、単に見分けやすい部分集合ではありません。正確な閉性条件と吸収条件を満たさなければなりません。

環論でよくある間違い

加法についての閉性だけで十分だと思う

加法について閉じているだけでは不十分です。加法逆元についての閉性と、任意の環の元による乗法に対する吸収性も必要です。

可換性を自動的に成り立つものと考える

最初に出てくる例の多くは可換環ですが、すべての環が可換とは限りません。行列環は標準的な反例です。

すべての環は $1$ を含むと思い込む

多くの著者は乗法単位元を仮定しますが、そうでない場合も多くあります。環論を読むときも書くときも、それが重要ならどの流儀を採るかを明示しましょう。

部分環とイデアルを混同する

部分環は、ある環の中に入っているより小さな環です。イデアルは、環全体からの乗法とうまく相互作用するように作られたものです。関係はありますが、同じ条件ではありません。

環論はどこで使われるか

環論は、合同算術、多項式代数、整数論、代数幾何などに現れます。また、いくつかの暗号理論の構成を支える言葉の一部でもあります。

こうした高度な応用を知らなくても、基本的な考え方は学べます。最初の理解としては、環論を「加法と乗法が予測可能な形で関わる数のような体系を調べる分野」と考えるとよいでしょう。

似た問題をやってみよう

$\mathbb{Z}$ の中の $3\mathbb{Z}$ や $5\mathbb{Z}$ でも同じことを試してみましょう。同じ 2 つの条件、つまり加法と加法逆元についての閉性、そして任意の整数による乗法に対する吸収性を確かめてください。