환론 — 정의, 아이디얼, 예시

환론은 덧셈과 곱셈이 일정한 규칙 아래 함께 작동하는 집합을 연구하는 분야입니다. 가장 대표적인 모델은 정수입니다. 정수에서는 더하기, 빼기, 곱하기를 할 수 있고, 이 연산들은 믿을 수 있는 규칙을 따릅니다.

환은 단순히 "곱셈이 있는 집합"이 아닙니다. 환이 되려면 덧셈은 정수에서처럼 작동해야 하고, 곱셈은 결합법칙을 만족해야 하며, 곱셈은 덧셈에 대해 분배되어야 합니다.

수학에서 환이란?

환 $R$은 두 연산 $+$와 $\cdot$를 가진 집합으로, 다음을 만족합니다.

1. $(R,+)$는 아벨 군이다.
2. 곱셈은 결합적이다: 모든 $a,b,c \in R$에 대해 $(ab)c=a(bc)$.
3. 곱셈은 덧셈에 대해 분배된다:

$$a(b+c)=ab+ac$$

그리고

$$(a+b)c=ac+bc$$

첫 번째 조건은 덧셈에 대해 영원소가 있고, 모든 원소가 덧셈 역원을 가지며, 덧셈이 결합법칙과 교환법칙을 만족한다는 뜻입니다. 쉽게 말해, 덧셈에 관해서는 이 집합이 정수처럼 행동합니다.

어떤 책들은 곱셈 항등원 $1$의 존재도 요구합니다. 또 어떤 책들은 $ab=ba$가 성립하는 가환환에 초점을 맞춥니다. 이런 조건들은 중요한 추가 조건이지만, 모든 환의 정의에 기본으로 들어가지는 않습니다.

환론에서 아이디얼의 역할

아이디얼은 환 전체의 원소를 곱해도 그 안에 그대로 남아 있는 부분집합입니다. 이런 안정성 덕분에 몫환을 만들 수 있으며, 이는 정규부분군이 몫군을 가능하게 하는 것과 비슷합니다.

$R$이 가환환일 때, 부분집합 $I \subseteq R$가 아이디얼이 되려면 다음을 만족해야 합니다.

1. $I$는 덧셈과 덧셈 역원에 대해 닫혀 있다.
2. 모든 $r \in R$와 모든 $x \in I$에 대해, 곱 $rx$가 여전히 $I$ 안에 있다.

비가환환에서는 좌아이디얼, 우아이디얼, 양쪽 아이디얼을 구분해야 합니다. 가환환에서는 이런 구분이 사라집니다.

예제: 왜 $2\mathbb{Z}$는 $\mathbb{Z}$의 아이디얼인가

보통의 덧셈과 곱셈을 가진 환 $\mathbb{Z}$는 환의 가장 표준적인 첫 예시입니다. 또한 이는 가환환이고 곱셈 항등원 $1$도 가집니다.

이제 짝수 정수들의 부분집합을 봅시다:

$$2\mathbb{Z}=\{2k : k \in \mathbb{Z}\}$$

이 집합은 위의 두 조건을 모두 만족하므로 $\mathbb{Z}$의 아이디얼입니다.

먼저, 덧셈에 대해 닫혀 있습니다:

$$2a+2b=2(a+b)$$

따라서 두 짝수의 합은 여전히 짝수입니다. 또한 덧셈 역원에 대해서도 닫혀 있는데,

$$-(2a)=2(-a)$$

이 역시 짝수이기 때문입니다.

둘째, 임의의 정수를 곱해도 이 집합 안에 남습니다. $r \in \mathbb{Z}$이고 $2a \in 2\mathbb{Z}$라면,

$$r(2a)=2(ra)$$

이므로 결과는 다시 짝수입니다.

따라서 $2\mathbb{Z}$는 단지 어떤 규칙이 보이는 부분집합이 아닙니다. 덧셈, 덧셈 역원, 그리고 임의의 정수에 의한 곱셈에 대해 자기 안에 머무르며, 이것이 바로 아이디얼이 해야 하는 일입니다.

이 예시는 꼭 기억할 만합니다. 같은 패턴이 계속 반복되기 때문입니다. 아이디얼은 환 전체가 곱셈으로도 밖으로 밀어낼 수 없는 부분집합입니다.

반례: 홀수 정수는 아이디얼이 아니다

홀수 정수들은 $\mathbb{Z}$의 아이디얼이 아닙니다.

우선 덧셈에 대해 닫혀 있지 않습니다. 홀수 $+$ 홀수 $=$ 짝수이기 때문입니다. 또한 흡수 조건도 만족하지 않습니다. 예를 들어,

$$2 \cdot 3 = 6$$

인데, $6$은 홀수가 아닙니다.

이것이 핵심적인 차이입니다. 아이디얼은 단지 눈에 띄는 부분집합이 아닙니다. 정확한 닫힘 조건과 흡수 조건을 만족해야 합니다.

환론에서 흔한 실수

덧셈에 대한 닫힘성과 아이디얼 판정을 혼동하기

덧셈에 대해 닫혀 있는 것만으로는 충분하지 않습니다. 덧셈 역원에 대한 닫힘성과, 임의의 환의 원소를 곱했을 때의 흡수 성질도 필요합니다.

가환성을 자동으로 가정하기

처음 배우는 예시들은 대부분 가환환이지만, 모든 환이 가환인 것은 아닙니다. 행렬환이 대표적인 반례입니다.

모든 환이 반드시 $1$을 포함한다고 가정하기

많은 저자들은 곱셈 항등원의 존재를 요구하고, 또 많은 저자들은 그렇지 않습니다. 환론을 읽거나 쓸 때 이 점이 중요하다면 어떤 약속을 따르는지 분명히 해야 합니다.

부분환과 아이디얼을 혼동하기

부분환은 어떤 환 안에 들어 있는 더 작은 환입니다. 아이디얼은 환 전체로부터의 곱셈과 잘 맞도록 설계된 개념입니다. 서로 관련은 있지만 같은 조건은 아닙니다.

환론은 어디에 쓰일까?

환론은 모듈러 산술, 다항식 대수, 정수론, 대수기하학에서 등장합니다. 또한 일부 암호학적 구성의 배경 언어이기도 합니다.

이 기본 개념을 배우기 위해 그런 고급 응용까지 알 필요는 없습니다. 처음에는 환론을 덧셈과 곱셈이 예측 가능하게 상호작용하는 수와 비슷한 체계를 연구하는 분야라고 생각하면 됩니다.

비슷한 문제를 직접 해보기

$\mathbb{Z}$ 안의 $3\mathbb{Z}$나 $5\mathbb{Z}$로 직접 같은 과정을 해 보세요. 같은 두 조건을 확인하면 됩니다. 먼저 덧셈과 덧셈 역원에 대한 닫힘성을 보고, 그다음 임의의 정수에 대한 곱셈 흡수 성질을 확인해 보세요.