Derivate — Regole, Formule ed Esercizi Svolti

Le derivate ti dicono quanto rapidamente cambia una funzione in un punto. In pratica, puoi leggerle in due modi: come tasso di variazione istantaneo e come pendenza della tangente al grafico.

Negli esercizi, il passaggio decisivo e quasi sempre questo: riconoscere la struttura della funzione prima di derivare. Se capisci se hai davanti una somma, un prodotto, un quoziente o una composizione, la regola giusta diventa molto piu chiara.

Derivate: significato in parole semplici

Se una funzione cresce in un intorno del punto, la derivata tende a essere positiva. Se decresce, tende a essere negativa. Se il grafico in quel punto e orizzontale, la derivata puo essere zero.

Una derivata, pero, non esiste automaticamente in ogni punto. Se la funzione non e definita, ha uno spigolo oppure presenta un comportamento non regolare, la derivata puo non esistere.

Per questo le derivate compaiono nello studio di funzione, nelle tangenti, nei massimi e minimi, nella velocita istantanea e in molti problemi di ottimizzazione.

Regole di derivazione: formule da sapere

Se $c$ e una costante e le funzioni considerate sono derivabili nel punto in esame, valgono queste regole:

$$\frac{d}{dx}(c)=0$$ $$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$$

La regola della potenza vale nei punti in cui la funzione e derivabile.

$$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}[c f(x)]=c f'(x)$$ $$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

La regola del quoziente richiede $g(x)\ne0$.

$$\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Questa e la regola della catena. Si usa quando una funzione e dentro un'altra, come in $(3x-1)^4$ oppure $\sin(x^2)$.

Come capire quale regola usare

Guarda prima l'operazione principale, cioe quella piu esterna. E' il modo piu rapido per capire quale formula serve.

Se l'espressione e una somma o una differenza, di solito derivi i termini separatamente. Se hai due fattori che cambiano, usi la regola del prodotto. Se hai una frazione, controlli il quoziente. Se una funzione sta dentro un'altra, serve la catena.

Un confronto utile e questo: $x^2\sin(x)$ e un prodotto, mentre $\sin(x^2)$ e una composizione. Sembrano simili solo a una lettura veloce, ma richiedono regole diverse.

Esempio svolto: derivare $x^2(3x-1)^4$

Deriviamo

$$y=x^2(3x-1)^4$$

La struttura esterna e un prodotto tra $x^2$ e $(3x-1)^4$, quindi usiamo la regola del prodotto. Pero il secondo fattore e anche una funzione composta, quindi al suo interno serve la regola della catena.

Partiamo dalle derivate dei due fattori:

$$\frac{d}{dx}(x^2)=2x$$ $$\frac{d}{dx}[(3x-1)^4]=4(3x-1)^3 \cdot 3=12(3x-1)^3$$

Ora applichiamo la regola del prodotto:

$$y'=2x(3x-1)^4+x^2 \cdot 12(3x-1)^3$$

Questa forma e gia corretta. Se vuoi raccogliere il fattore comune, ottieni:

$$y'=2x(3x-1)^3[(3x-1)+6x]$$ $$y'=2x(3x-1)^3(9x-1)$$

Il punto importante non e la semplificazione finale. Il punto importante e riconoscere che qui lavorano insieme due regole: prodotto all'esterno, catena all'interno.

Errori comuni nelle derivate

1. Scrivere $(fg)'=f'g'$. In generale non e vero.
2. Dimenticare la derivata interna nella regola della catena.
3. Usare la regola del quoziente senza controllare che il denominatore non sia zero.
4. Confondere un prodotto con una composizione.
5. Semplificare troppo presto e perdere parentesi o segni.

Dove si usano le derivate

Le derivate si usano ogni volta che vuoi descrivere una variazione locale: quanto cresce una funzione, dove si annulla la pendenza, dove puo esserci un massimo o un minimo, oppure quale tangente passa per un certo punto del grafico.

In fisica compaiono, per esempio, quando la posizione dipende dal tempo e vuoi trovare la velocita istantanea. In matematica scolastica servono soprattutto nello studio di funzione e negli esercizi di analisi.

Un controllo rapido prima di consegnare

Se hai derivato un prodotto, chiediti se prima della semplificazione compaiono due termini. Se hai derivato una funzione composta, verifica di avere scritto anche la derivata della parte interna.

Questo controllo richiede pochi secondi e corregge molti errori meccanici.

Prova un caso simile

Prova a derivare

$$y=(x^3+2)^5$$

Prima ancora dei conti, riconosci la struttura: non e un prodotto e non e una somma principale, ma una composizione. Quindi la regola decisiva e la catena.

Se vuoi continuare, prova una tua versione cambiando l'interno o l'esponente e controlla se la logica resta la stessa. E' un buon modo per fissare davvero la regola della catena, non solo il risultato finale.