Entropie — Définition, formule et lien avec le deuxième principe

L’entropie mesure combien d’arrangements microscopiques correspondent au même état visible d’un système, ou, de façon équivalente, à quel point l’énergie est répartie entre les états disponibles. En physique, elle est importante parce qu’elle aide à prévoir quels processus peuvent se produire spontanément et lesquels ne le peuvent pas.

Pour un système isolé, l’entropie est directement liée au deuxième principe :

$$\Delta S_{total} \ge 0$$

L’égalité est vérifiée dans la limite réversible. Pour un processus réel irréversible dans un système isolé, l’entropie totale augmente.

Définition de l’entropie en termes simples

On décrit souvent l’entropie comme du « désordre », mais ce raccourci induit plus souvent en erreur qu’il n’aide. Une intuition plus sûre est la suivante : l’entropie mesure à quel point l’énergie est répartie et combien de façons microscopiques un système peut réaliser le même état macroscopique.

Si un état peut être réalisé d’un bien plus grand nombre de façons microscopiques qu’un autre, il tend à avoir une entropie plus élevée. Cela ne signifie pas que tout état de forte entropie paraît désordonné à l’œil nu. L’idée concerne les possibilités microscopiques, pas l’apparence visuelle.

Formules de l’entropie et conditions d’application

En thermodynamique, la définition différentielle est

$$dS = \frac{\delta Q_{rev}}{T}$$

pour un transfert de chaleur réversible à la température absolue $T$. C’est la forme la plus sûre à retenir. Si le chemin réel est irréversible, il ne faut pas remplacer dans cette équation le transfert thermique du processus réel sans analyse supplémentaire.

En mécanique statistique, une formule courante est

$$S = k_B \ln \Omega$$

où $\Omega$ est le nombre de micro-états accessibles et $k_B$ est la constante de Boltzmann. Cette forme convient au cas où l’on compte des micro-états équiprobables. Si les micro-états n’ont pas tous la même probabilité, une description statistique plus générale est nécessaire.

Exemple d’entropie : transfert de chaleur du chaud vers le froid

Supposons que $100\ \mathrm{J}$ de chaleur quittent un réservoir chaud à $500\ \mathrm{K}$ et entrent dans un réservoir froid à $300\ \mathrm{K}$. On suppose que les deux réservoirs sont assez grands pour que leurs températures restent constantes.

Utiliser $\Delta S = Q/T$ pour chaque réservoir est valable ici, car chaque réservoir reste à température constante pendant l’échange de chaleur.

Pour le réservoir chaud,

$$\Delta S_{hot} = \frac{-100}{500} = -0.20\ \mathrm{J/K}$$

Pour le réservoir froid,

$$\Delta S_{cold} = \frac{100}{300} \approx 0.33\ \mathrm{J/K}$$

Donc la variation d’entropie totale est

$$\Delta S_{total} = \Delta S_{hot} + \Delta S_{cold} \approx -0.20 + 0.33 = 0.13\ \mathrm{J/K}$$

Le total est positif. Voilà le lien avec le deuxième principe en une ligne : un transfert spontané de chaleur du chaud vers le froid augmente l’entropie totale du système isolé formé par les deux réservoirs.

Cet exemple montre aussi un point important. Une partie du système peut perdre de l’entropie. Pour le deuxième principe, ce qui compte est la variation d’entropie totale du système isolé.

Entropie et deuxième principe

Le premier principe de la thermodynamique vous dit que l’énergie se conserve. Le deuxième principe vous dit dans quel sens un processus évolue naturellement.

L’entropie est la grandeur qui traduit cette direction. Si l’entropie totale d’un système isolé devait diminuer, le processus ne peut pas se produire spontanément tel qu’énoncé. Si l’entropie totale augmente, le processus est autorisé par le deuxième principe. Si elle reste constante, on est dans la limite idéale réversible.

C’est pour cela que l’entropie apparaît dans les moteurs thermiques, les réfrigérateurs, les changements d’état, les mélanges et les problèmes d’équilibre. Ce n’est pas seulement une formule à mémoriser. C’est un critère de direction et de faisabilité.

Erreurs fréquentes sur l’entropie

• Traiter l’entropie comme exactement la même chose que le désordre visuel. Cela peut donner une intuition grossière, mais ce n’est pas une définition.
• Utiliser $\Delta S = Q/T$ sans vérifier la condition d’application. La forme réversible à température constante n’est pas un raccourci universel.
• Oublier que le deuxième principe porte sur la variation d’entropie totale d’un système isolé, et pas seulement sur un objet.
• Penser que l’entropie doit augmenter dans chaque partie d’un système. L’entropie locale peut diminuer si le total, lui, ne diminue pas.
• Mélanger la formule thermodynamique et la formule de comptage des micro-états comme si elles s’appliquaient de la même manière dans tous les problèmes.

Quand utilise-t-on l’entropie ?

L’entropie est utilisée en thermodynamique, en mécanique statistique, en chimie, en science des matériaux, en théorie de l’information et en ingénierie. En physique introductive, elle apparaît généralement quand il faut répondre à l’une de ces trois questions : dans quel sens la chaleur va circuler, si un processus est possible, ou quelle limite s’applique à un moteur ou à un réfrigérateur.

Si l’énoncé mentionne la réversibilité, des réservoirs thermiques, l’équilibre ou le deuxième principe, l’entropie fait généralement partie du bon cadre d’analyse.

Essayez votre propre version

Gardez le même transfert de chaleur de $100\ \mathrm{J}$, mais remplacez le réservoir froid à $300\ \mathrm{K}$ par un réservoir à $350\ \mathrm{K}$. Recalculez les deux variations d’entropie et comparez le nouveau total à $0.13\ \mathrm{J/K}$. Cette vérification rapide développe une meilleure intuition que la mémorisation de slogans.

Si vous voulez aller un peu plus loin, essayez votre propre version avec d’autres températures et d’autres valeurs de chaleur, ou résolvez un cas similaire de variation d’entropie dans GPAI Solver.