Entropia — definizione, formula e collegamento con il secondo principio

L’entropia è una misura di quanti arrangiamenti microscopici corrispondono allo stesso stato visibile di un sistema, oppure, in modo equivalente, di quanto l’energia è distribuita tra gli stati disponibili. In fisica è importante perché aiuta a prevedere quali processi possono avvenire spontaneamente e quali no.

Per un sistema isolato, l’entropia è direttamente collegata al secondo principio:

$$\Delta S_{total} \ge 0$$

L’uguaglianza vale nel limite reversibile. Per un processo reale irreversibile in un sistema isolato, l’entropia totale aumenta.

Definizione di entropia in parole semplici

L’entropia viene spesso descritta come “disordine”, ma questa scorciatoia può confondere più di quanto aiuti. Un’intuizione più sicura è questa: l’entropia misura quanto l’energia è distribuita e in quanti modi microscopici un sistema può realizzare lo stesso stato macroscopico.

Se uno stato può essere realizzato in molti più modi microscopici rispetto a un altro, tende ad avere entropia maggiore. Questo non significa che ogni stato ad alta entropia debba apparire disordinato a occhio. L’idea riguarda le possibilità microscopiche, non l’aspetto visivo.

Formule dell’entropia e quando si applicano

In termodinamica, la definizione differenziale è

$$dS = \frac{\delta Q_{rev}}{T}$$

per un trasferimento di calore reversibile alla temperatura assoluta $T$. Questa è la forma più sicura da ricordare. Se il percorso reale è irreversibile, non dovresti sostituire in questa equazione il calore scambiato nel processo reale senza un’analisi aggiuntiva.

Nella meccanica statistica, una formula comune è

$$S = k_B \ln \Omega$$

dove $\Omega$ è il numero di microstati accessibili e $k_B$ è la costante di Boltzmann. Questa forma si adatta al caso in cui i microstati abbiano tutti la stessa probabilità. Se i microstati non hanno tutti la stessa probabilità, serve una descrizione statistica più generale.

Esempio di entropia: flusso di calore dal caldo al freddo

Supponi che $100\ \mathrm{J}$ di calore escano da un serbatoio caldo a $500\ \mathrm{K}$ ed entrino in un serbatoio freddo a $300\ \mathrm{K}$. Assumi che entrambi i serbatoi siano abbastanza grandi da mantenere costante la loro temperatura.

Usare $\Delta S = Q/T$ per ciascun serbatoio è valido qui perché ogni serbatoio resta a temperatura costante mentre scambia calore.

Per il serbatoio caldo,

$$\Delta S_{hot} = \frac{-100}{500} = -0.20\ \mathrm{J/K}$$

Per il serbatoio freddo,

$$\Delta S_{cold} = \frac{100}{300} \approx 0.33\ \mathrm{J/K}$$

Quindi la variazione totale di entropia è

$$\Delta S_{total} = \Delta S_{hot} + \Delta S_{cold} \approx -0.20 + 0.33 = 0.13\ \mathrm{J/K}$$

Il totale è positivo. Questo è il collegamento con il secondo principio in una riga: il flusso spontaneo di calore dal caldo al freddo aumenta l’entropia totale del sistema isolato formato dai due serbatoi.

L’esempio mostra anche un punto importante. Una parte del sistema può perdere entropia. Ciò che conta per il secondo principio è la variazione totale di entropia del sistema isolato.

Entropia e secondo principio

Il primo principio della termodinamica dice che l’energia si conserva. Il secondo principio dice in quale direzione un processo avviene naturalmente.

L’entropia è la grandezza che descrive questa direzione. Se l’entropia totale di un sistema isolato dovesse diminuire, il processo non può avvenire spontaneamente così come è descritto. Se l’entropia totale aumenta, il processo è permesso dal secondo principio. Se resta costante, ci si trova nel limite ideale reversibile.

Per questo l’entropia compare nelle macchine termiche, nei frigoriferi, nei cambiamenti di fase, nel mescolamento e nei problemi di equilibrio. Non è solo una formula da memorizzare. È un criterio per stabilire direzione e fattibilità.

Errori comuni sull’entropia

• Trattare l’entropia come se fosse esattamente la stessa cosa del disordine visivo. Può essere un’intuizione approssimativa, ma non è una definizione.
• Usare $\Delta S = Q/T$ senza verificare la condizione. La forma reversibile a temperatura costante non è una scorciatoia universale.
• Dimenticare che il secondo principio riguarda la variazione totale di entropia di un sistema isolato, non solo di un singolo oggetto.
• Pensare che l’entropia debba aumentare in ogni parte di un sistema. L’entropia locale può diminuire se il totale comunque non diminuisce.
• Confondere la formula termodinamica e la formula basata sul conteggio dei microstati come se si applicassero allo stesso modo in ogni problema.

Quando si usa l’entropia

L’entropia si usa in termodinamica, meccanica statistica, chimica, scienza dei materiali, teoria dell’informazione e ingegneria. Nei corsi introduttivi di fisica compare di solito quando bisogna rispondere a una di tre domande: in quale direzione fluirà il calore, se un processo è possibile, oppure quale limite vale per una macchina termica o un frigorifero.

Se il problema menziona reversibilità, serbatoi termici, equilibrio o il secondo principio, l’entropia fa quasi sempre parte del quadro corretto.

Prova una tua versione

Mantieni lo stesso trasferimento di calore di $100\ \mathrm{J}$, ma cambia il serbatoio freddo da $300\ \mathrm{K}$ a $350\ \mathrm{K}$. Ricalcola le due variazioni di entropia e confronta il nuovo totale con $0.13\ \mathrm{J/K}$. Questo rapido controllo costruisce un’intuizione migliore che memorizzare slogan.

Se vuoi fare un passo in più, prova una tua versione con temperature e quantità di calore diverse, oppure risolvi un caso simile di variazione di entropia in GPAI Solver.