Cycle de Carnot

Le cycle de Carnot est un cycle idéal de machine thermique qui montre le rendement maximal possible pour toute machine fonctionnant entre deux températures de réservoir. Pour une machine réversible entre une source chaude à $T_H$ et une source froide à $T_C$, le rendement maximal est

$$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

avec des températures en kelvins. Les machines réelles n’atteignent pas cette limite, mais le cycle de Carnot indique quelle est cette limite.

Ce que signifie le cycle de Carnot

Le cycle comporte quatre étapes : deux étapes isothermes, où la chaleur est échangée à température constante, et deux étapes adiabatiques réversibles, où aucune chaleur n’est échangée et où la température varie.

Son importance est simple : il sert de référence. Si deux machines fonctionnent entre la même source chaude et la même source froide, aucune ne peut être plus efficace qu’une machine de Carnot réversible.

Les quatre étapes dans l’ordre

1. Détente isotherme à $T_H$. Le gaz absorbe une chaleur $Q_H$ depuis la source chaude et fournit un travail tout en restant à la température chaude.
2. Détente adiabatique réversible. Aucune chaleur n’entre ni ne sort. Le gaz continue à se détendre, fournit un travail, et sa température diminue de $T_H$ à $T_C$.
3. Compression isotherme à $T_C$. Le milieu extérieur effectue un travail sur le gaz tandis que le gaz cède une chaleur $Q_C$ à la source froide à température froide constante.
4. Compression adiabatique réversible. Aucune chaleur n’est échangée. Le gaz est comprimé jusqu’à ce que sa température remonte de $T_C$ à $T_H$.

Après la quatrième étape, le système revient à son état initial, donc le processus peut se répéter sous forme de cycle.

Quand utiliser la formule du rendement de Carnot

Utilisez

$$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

uniquement lorsque la machine est réversible et fonctionne entre deux réservoirs à températures absolues fixes.

Pourquoi cela fonctionne-t-il ? Dans un cycle de Carnot réversible, l’entropie gagnée depuis la source chaude est égale en valeur absolue à l’entropie transférée à la source froide, donc

$$\frac{Q_H}{T_H} = \frac{Q_C}{T_C}$$

ce qui donne

$$\frac{Q_C}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H}$$

puis

$$\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_C}{Q_H} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

N’appliquez pas cette formule telle quelle à une machine réelle avec frottements, turbulence ou transfert thermique à travers une différence finie de température. Dans ce cas, la valeur de Carnot reste une borne supérieure, et non le rendement réel.

Exemple résolu : rendement maximal entre deux températures

Supposons qu’une machine idéale de Carnot fonctionne entre $T_H = 600\ \mathrm{K}$ et $T_C = 300\ \mathrm{K}$ et absorbe $Q_H = 900\ \mathrm{J}$ depuis la source chaude à chaque cycle.

Son rendement est

$$\eta = 1 - \frac{300}{600} = 0.50$$

Le rendement maximal possible est donc de $50\%$.

Le travail fourni par cycle est

$$W = \eta Q_H = 0.50 \times 900 = 450\ \mathrm{J}$$

La chaleur restante doit être rejetée vers la source froide :

$$Q_C = Q_H - W = 900 - 450 = 450\ \mathrm{J}$$

Cet exemple montre clairement l’idée principale : une fois les températures des réservoirs fixées, le rendement maximal l’est aussi. Améliorer la qualité de conception peut aider une machine réelle à se rapprocher de cette limite, mais pas à la dépasser.

Erreurs fréquentes dans les problèmes sur le cycle de Carnot

Une erreur fréquente consiste à utiliser les degrés Celsius dans la formule du rendement. Le rapport $T_C/T_H$ doit être calculé en kelvins.

Une autre erreur consiste à considérer le cycle de Carnot comme un modèle réaliste d’un moteur ordinaire. C’est une référence idéale et réversible, pas une description de ce que font réellement les machines courantes.

Une troisième erreur consiste à mémoriser les quatre étapes sans suivre où la chaleur entre et sort. La chaleur entre pendant la détente isotherme chaude et sort pendant la compression isotherme froide. Pendant les étapes adiabatiques, on a $Q = 0$.

Il est aussi facile de surinterpréter la formule du rendement. Elle ne dit pas qu’une machine devient efficace simplement parce que $T_H$ est grande. Les limites des matériaux, les irréversibilités et les contraintes de conception restent importantes dans les machines réelles.

Où le cycle de Carnot est utilisé

Le cycle de Carnot apparaît en thermodynamique parce qu’il relie l’entropie, la réversibilité et le rendement des machines dans un modèle simple et élégant. Il sert à fixer des limites supérieures de rendement, à comparer les machines réelles aux machines idéales, et à développer l’intuition pour les réfrigérateurs et les pompes à chaleur aussi bien que pour les machines thermiques.

Si vous connaissez déjà la deuxième loi de la thermodynamique, le cycle de Carnot est l’une des façons les plus claires de voir cette loi se transformer en une limite quantitative.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version avec $T_H = 500\ \mathrm{K}$ et $T_C = 350\ \mathrm{K}$. Calculez d’abord le rendement de Carnot, puis choisissez une valeur de $Q_H$ et déterminez le travail ainsi que la chaleur rejetée. Si vous voulez aller un peu plus loin, comparez cette réponse idéale à celle d’une machine réelle fonctionnant avec un rendement plus faible et expliquez pourquoi cet écart apparaît.