Κύκλος Carnot

Ο κύκλος Carnot είναι ένας ιδανικός κύκλος θερμικής μηχανής που δείχνει τη μέγιστη δυνατή απόδοση για οποιαδήποτε μηχανή λειτουργεί ανάμεσα σε δύο θερμικές δεξαμενές διαφορετικής θερμοκρασίας. Για μια αντιστρεπτή μηχανή ανάμεσα σε μια θερμή δεξαμενή στη θερμοκρασία $T_H$ και μια ψυχρή δεξαμενή στη θερμοκρασία $T_C$, η μέγιστη απόδοση είναι

$$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

με τις θερμοκρασίες σε Kelvin. Οι πραγματικές μηχανές δεν φτάνουν αυτό το όριο, αλλά ο κύκλος Carnot δείχνει ποιο είναι το όριο.

Τι σημαίνει ο κύκλος Carnot

Ο κύκλος έχει τέσσερα στάδια: δύο ισόθερμα στάδια, όπου γίνεται ανταλλαγή θερμότητας σε σταθερή θερμοκρασία, και δύο αντιστρεπτά αδιαβατικά στάδια, όπου δεν ανταλλάσσεται θερμότητα και η θερμοκρασία μεταβάλλεται.

Η σημασία του είναι απλή: δίνει ένα σημείο αναφοράς. Αν δύο μηχανές λειτουργούν ανάμεσα στις ίδιες θερμή και ψυχρή δεξαμενή, καμία μηχανή δεν μπορεί να είναι πιο αποδοτική από μια αντιστρεπτή μηχανή Carnot.

Τα τέσσερα στάδια με τη σειρά

1. Ισόθερμη εκτόνωση στη θερμοκρασία $T_H$. Το αέριο απορροφά θερμότητα $Q_H$ από τη θερμή δεξαμενή και παράγει έργο ενώ παραμένει στη θερμή θερμοκρασία.
2. Αντιστρεπτή αδιαβατική εκτόνωση. Δεν εισέρχεται ούτε εξέρχεται θερμότητα. Το αέριο συνεχίζει να εκτονώνεται, παράγει έργο και η θερμοκρασία του πέφτει από $T_H$ σε $T_C$.
3. Ισόθερμη συμπίεση στη θερμοκρασία $T_C$. Το περιβάλλον παράγει έργο πάνω στο αέριο, ενώ το αέριο αποβάλλει θερμότητα $Q_C$ προς την ψυχρή δεξαμενή σε σταθερή ψυχρή θερμοκρασία.
4. Αντιστρεπτή αδιαβατική συμπίεση. Δεν γίνεται ανταλλαγή θερμότητας. Το αέριο συμπιέζεται μέχρι η θερμοκρασία του να αυξηθεί από $T_C$ ξανά σε $T_H$.

Μετά το τέταρτο στάδιο, το σύστημα επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση, οπότε η διαδικασία μπορεί να επαναλαμβάνεται κυκλικά.

Πότε μπορείς να χρησιμοποιήσεις τον τύπο της απόδοσης Carnot

Χρησιμοποίησε τον τύπο

$$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

μόνο όταν η μηχανή είναι αντιστρεπτή και λειτουργεί ανάμεσα σε δύο δεξαμενές με σταθερές απόλυτες θερμοκρασίες.

Γιατί ισχύει; Σε έναν αντιστρεπτό κύκλο Carnot, η εντροπία που αποκτάται από τη θερμή δεξαμενή είναι ίση κατά μέτρο με την εντροπία που αποδίδεται στην ψυχρή δεξαμενή, άρα

$$\frac{Q_H}{T_H} = \frac{Q_C}{T_C}$$

οπότε προκύπτει

$$\frac{Q_C}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H}$$

και στη συνέχεια

$$\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_C}{Q_H} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

Μην εφαρμόζεις αυτόν τον τύπο χωρίς αλλαγές σε μια πραγματική μηχανή με τριβές, στροβιλισμό ή μεταφορά θερμότητας μέσω πεπερασμένης διαφοράς θερμοκρασίας. Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή Carnot παραμένει ένα άνω όριο και όχι η πραγματική απόδοση.

Λυμένο παράδειγμα: μέγιστη απόδοση ανάμεσα σε δύο θερμοκρασίες

Έστω ότι μια ιδανική μηχανή Carnot λειτουργεί ανάμεσα στις θερμοκρασίες $T_H = 600\ \mathrm{K}$ και $T_C = 300\ \mathrm{K}$ και απορροφά $Q_H = 900\ \mathrm{J}$ από τη θερμή δεξαμενή σε κάθε κύκλο.

Η απόδοσή της είναι

$$\eta = 1 - \frac{300}{600} = 0.50$$

Άρα η μέγιστη δυνατή απόδοση είναι $50\%$.

Το έργο που παράγεται σε κάθε κύκλο είναι

$$W = \eta Q_H = 0.50 \times 900 = 450\ \mathrm{J}$$

Η υπόλοιπη θερμότητα πρέπει να αποβληθεί στην ψυχρή δεξαμενή:

$$Q_C = Q_H - W = 900 - 450 = 450\ \mathrm{J}$$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει καθαρά τη βασική ιδέα: μόλις καθοριστούν οι θερμοκρασίες των δεξαμενών, καθορίζεται και η μέγιστη απόδοση. Η καλύτερη μηχανολογική σχεδίαση μπορεί να βοηθήσει μια πραγματική μηχανή να πλησιάσει αυτό το όριο, αλλά όχι να το ξεπεράσει.

Συνηθισμένα λάθη σε ασκήσεις για τον κύκλο Carnot

Ένα συνηθισμένο λάθος είναι η χρήση βαθμών Κελσίου στον τύπο της απόδοσης. Ο λόγος $T_C/T_H$ πρέπει να υπολογίζεται σε Kelvin.

Ένα άλλο λάθος είναι να θεωρείται ο κύκλος Carnot ως ρεαλιστικό μοντέλο μιας καθημερινής μηχανής. Είναι ένα ιδανικό αντιστρεπτό σημείο αναφοράς, όχι περιγραφή του τι κάνουν πραγματικά οι συνηθισμένες μηχανές.

Ένα τρίτο λάθος είναι η απομνημόνευση των τεσσάρων σταδίων χωρίς παρακολούθηση του πού εισέρχεται και πού εξέρχεται η θερμότητα. Η θερμότητα εισέρχεται κατά την ισόθερμη εκτόνωση στη θερμή θερμοκρασία και εξέρχεται κατά την ισόθερμη συμπίεση στην ψυχρή θερμοκρασία. Στα αδιαβατικά στάδια ισχύει $Q = 0$.

Είναι επίσης εύκολο να παρερμηνευτεί ο τύπος της απόδοσης. Δεν λέει ότι μια μηχανή γίνεται αποδοτική μόνο και μόνο επειδή το $T_H$ είναι μεγάλο. Τα όρια των υλικών, η μη αντιστρεπτότητα και οι περιορισμοί σχεδίασης εξακολουθούν να έχουν σημασία στις πραγματικές μηχανές.

Πού χρησιμοποιείται ο κύκλος Carnot

Ο κύκλος Carnot εμφανίζεται στη θερμοδυναμική επειδή συνδέει την εντροπία, την αντιστρεπτότητα και την απόδοση της μηχανής σε ένα ενιαίο και καθαρό μοντέλο. Χρησιμοποιείται για τον καθορισμό ανώτατων ορίων απόδοσης, για τη σύγκριση πραγματικών μηχανών με ιδανικές και για την ανάπτυξη διαίσθησης σχετικά με ψυγεία και αντλίες θερμότητας, καθώς και με θερμικές μηχανές.

Αν γνωρίζεις ήδη τον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, ο κύκλος Carnot είναι ένας από τους πιο καθαρούς τρόπους να δεις αυτόν τον νόμο να μετατρέπεται σε ποσοτικό όριο.

Δοκίμασε ένα παρόμοιο πρόβλημα

Δοκίμασε τη δική σου εκδοχή με $T_H = 500\ \mathrm{K}$ και $T_C = 350\ \mathrm{K}$. Υπολόγισε πρώτα την απόδοση Carnot, έπειτα διάλεξε μια τιμή για το $Q_H$ και βρες το έργο και την αποβαλλόμενη θερμότητα. Αν θέλεις να πας ένα βήμα παραπέρα, σύγκρινε αυτή την ιδανική απάντηση με μια πραγματική μηχανή που λειτουργεί με μικρότερη απόδοση και εξήγησε γιατί εμφανίζεται αυτή η διαφορά.