カルノーサイクル

カルノーサイクルは、2つの熱源温度の間で動作するあらゆる熱機関について、達成可能な最高効率を示す理想的な熱機関サイクルです。高温熱源が $T_H$、低温熱源が $T_C$ の可逆機関では、最大効率は

$$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

で与えられます。温度はケルビンで表します。実際の機関はこの限界には達しませんが、カルノーサイクルはその上限がどこにあるかを教えてくれます。

カルノーサイクルの意味

このサイクルは4つの過程からなります。2つは等温過程で、一定温度のまま熱のやり取りが行われます。残りの2つは可逆断熱過程で、熱の出入りはなく、温度が変化します。

重要なのは、その役割が基準になることです。2つの機関が同じ高温熱源と低温熱源の間で動作するなら、可逆なカルノー機関より高い効率をもつ機関は存在しません。

4つの過程を順番に見る

1. $T_H$ での等温膨張。気体は高温熱源から熱 $Q_H$ を吸収し、高温のまま仕事をします。
2. 可逆断熱膨張。熱の出入りはありません。気体は膨張を続けて仕事をし、その温度は $T_H$ から $T_C$ へ下がります。
3. $T_C$ での等温圧縮。周囲が気体に仕事をし、気体は一定の低温を保ちながら熱 $Q_C$ を低温熱源へ放出します。
4. 可逆断熱圧縮。熱のやり取りはありません。気体は圧縮され、温度が $T_C$ から再び $T_H$ まで上がります。

4番目の過程が終わると、系は出発時の状態に戻るので、この過程はサイクルとして繰り返せます。

カルノー効率の式を使える場合

次の式

$$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

を使えるのは、機関が可逆であり、固定された絶対温度をもつ2つの熱源の間で動作している場合だけです。

なぜこの式が成り立つのでしょうか。可逆なカルノーサイクルでは、高温熱源から得るエントロピーの大きさと、低温熱源へ渡すエントロピーの大きさが等しいため、

$$\frac{Q_H}{T_H} = \frac{Q_C}{T_C}$$

となります。したがって

$$\frac{Q_C}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H}$$

が得られ、さらに

$$\eta = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_C}{Q_H} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$$

となります。

この式を、摩擦や乱流、有限の温度差をまたぐ熱移動がある実在の機関に、そのまま当てはめてはいけません。その場合でもカルノー効率は上限ではありますが、実際の効率そのものではありません。

計算例：2つの温度の間での最大効率

理想的なカルノー機関が $T_H = 600\ \mathrm{K}$ と $T_C = 300\ \mathrm{K}$ の間で動作し、各サイクルで高温熱源から $Q_H = 900\ \mathrm{J}$ の熱を吸収するとします。

その効率は

$$\eta = 1 - \frac{300}{600} = 0.50$$

です。

したがって、達成可能な最大効率は $50\%$ です。

1サイクルあたりの仕事は

$$W = \eta Q_H = 0.50 \times 900 = 450\ \mathrm{J}$$

となります。

残りの熱は低温熱源へ放出されなければなりません。

$$Q_C = Q_H - W = 900 - 450 = 450\ \mathrm{J}$$

この例は、基本的な考え方をはっきり示しています。熱源の温度が決まれば、最大効率も決まります。工学的な改良によって実在の機関をその限界に近づけることはできますが、それを超えることはできません。

カルノーサイクルの問題でよくある間違い

よくある間違いの1つは、効率の式にセルシウス温度を使うことです。比 $T_C/T_H$ には必ずケルビンを使わなければなりません。

もう1つの間違いは、カルノーサイクルを日常的な機関の現実的なモデルだと考えることです。これは理想的で可逆な基準であり、普通の機関が実際にそう動くという意味ではありません。

3つ目の間違いは、4つの過程を暗記するだけで、どこで熱が入り、どこで熱が出るかを追わないことです。熱は高温での等温膨張で入り、低温での等温圧縮で出ていきます。断熱過程では $Q = 0$ です。

また、効率の式を過大に解釈しやすい点にも注意が必要です。この式は、$T_H$ が大きければそれだけで機関が高効率になると言っているわけではありません。実際の機械では、材料の限界、不可逆性、設計上の制約も重要です。

カルノーサイクルはどこで使われるか

カルノーサイクルは、エントロピー、可逆性、機関効率を1つの明快なモデルで結びつけるため、熱力学で重要です。効率の上限を定めるとき、実在の機関を理想機関と比較するとき、さらに熱機関だけでなく冷凍機やヒートポンプを理解するときにも使われます。

すでに熱力学第二法則を学んでいるなら、カルノーサイクルは、その法則が定量的な限界として現れる様子を最もわかりやすく示す例の1つです。

似た問題に挑戦してみよう

今度は $T_H = 500\ \mathrm{K}$、$T_C = 350\ \mathrm{K}$ として自分で解いてみましょう。まずカルノー効率を求め、次に $Q_H$ の値を1つ決めて、仕事と放出される熱を求めてください。さらに一歩進めたいなら、より低い効率で動く実在の機関とこの理想的な答えを比べ、その差がなぜ生じるのかを説明してみましょう。