Analyse des circuits en courant alternatif — impédance et phaseurs

L’analyse des circuits en courant alternatif utilise les impédances et les phaseurs pour résoudre des circuits sinusoïdaux à fréquence fixe. Si le circuit est en régime sinusoïdal permanent, vous pouvez remplacer les résistances, inductances et condensateurs par des impédances complexes et déterminer l’amplitude et la phase avec de l’algèbre plutôt qu’avec des équations différentielles.

L’idée essentielle est simple : la loi d’Ohm et les lois de Kirchhoff restent valables, mais les grandeurs sont maintenant complexes afin de suivre à la fois le déphasage et l’amplitude.

Ce que signifie l’impédance dans les circuits AC

En courant continu, une résistance suffit souvent à décrire l’opposition au courant. En courant alternatif, les condensateurs et les inductances comptent aussi, car ils stockent et restituent de l’énergie à chaque période. Cela introduit un déphasage, donc un seul nombre réel ne suffit plus.

L’impédance prend en compte ces deux effets. Pour un signal sinusoïdal de pulsation $\\omega$,

$$Z_R = R$$ $$Z_L = j\\omega L$$ $$Z_C = \\frac{1}{j\\omega C} = -\\frac{j}{\\omega C}$$

Ici, $j^2 = -1$. Dans ce modèle idéal, la résistance n’introduit pas de déphasage, l’inductance donne une impédance imaginaire positive, et le condensateur donne une impédance imaginaire négative.

Si la fréquence change, les impédances inductive et capacitive changent aussi. C’est pourquoi l’analyse des circuits AC doit toujours préciser la fréquence.

Ce que représente un phaseur

Un phaseur est une manière compacte de représenter une sinusoïde avec son amplitude et sa phase. Au lieu de conserver la fonction temporelle complète à chaque étape, on travaille avec son amplitude complexe.

Par exemple, une source écrite sous la forme

$$v(t) = V_m \\cos(\\omega t + \\phi)$$

peut être représentée par un phaseur avec une amplitude et un angle. La valeur numérique exacte de l’amplitude dépend du choix entre la forme crête et la forme efficace (RMS), mais les relations de phase restent les mêmes tant que vous restez cohérent.

Cette règle de cohérence est importante. Ne mélangez pas les valeurs crête et les valeurs RMS dans un même calcul.

Pourquoi l’impédance et les phaseurs simplifient les calculs

Une fois que tout est écrit sous forme de phaseurs, la loi d’Ohm garde la même structure :

$$\\tilde{V} = \\tilde{I} Z$$

Les lois des mailles et des nœuds de Kirchhoff gardent aussi la même logique. La différence est que les tensions, les courants et les impédances sont maintenant des grandeurs complexes, donc il faut les additionner en tenant compte à la fois des parties réelle et imaginaire.

C’est pourquoi l’analyse par phaseurs est utile pour les filtres, les circuits de puissance et les problèmes RLC de base. Elle transforme des sinusoïdes décalées dans le temps en grandeurs que l’on peut combiner directement.

Exemple résolu : circuit RC en série

Supposons qu’un circuit RC en série ait

$$R = 100\\ \\Omega$$ $$C = 100\\ \\mu\\mathrm{F}$$ $$f = 50\\ \\mathrm{Hz}$$

et que le phaseur de la source soit

\\tilde{V} = 10\\angle 0^\\circ\\ \\mathrm{V}

en utilisant des valeurs RMS. Déterminez le phaseur du courant.

Commençons par la pulsation :

$$\\omega = 2\\pi f = 2\\pi(50) \\approx 314\\ \\mathrm{rad/s}$$

Puis calculons l’impédance du condensateur :

$$Z_C = -\\frac{j}{\\omega C} = -\\frac{j}{314(100 \\times 10^{-6})} \\approx -j31.8\\ \\Omega$$

Additionnons maintenant les impédances en série :

$$Z = R + Z_C = 100 - j31.8\\ \\Omega$$

Convertissons ce résultat en amplitude et en angle :

$$|Z| = \\sqrt\{100^2 + 31.8^2\} \\approx 104.9\\ \\Omega$$

et sa phase vaut

\\angle Z = \\tan^{-1}\\left(\\frac{-31.8}{100}\\right) \\approx -17.7^\\circ

Appliquons maintenant la loi d’Ohm en phaseurs :

$$\\tilde{I} = \\frac{\\tilde{V}}{Z}$$

L’amplitude du courant est

$$|\\tilde\{I\}| = \\frac\{10\}\{104.9\} \\approx 0.095\\ \\mathrm\{A\}$$

et sa phase est

\\angle \\tilde{I} = 0^\\circ - (-17.7^\\circ) = 17.7^\\circ

Donc,

\\tilde{I} \\approx 0.095\\angle 17.7^\\circ\\ \\mathrm{A}

Le courant est en avance sur la tension de la source d’environ 17.7^\\circ. Cela correspond bien à l’interprétation physique : dans un circuit à effet capacitif, le courant est en avance sur la tension.

Erreurs fréquentes en analyse des circuits AC

Utiliser la méthode en dehors de ses conditions d’application

L’analyse par phaseurs s’applique au régime sinusoïdal permanent à fréquence fixe. Si le circuit commute, démarre ou est alimenté par une forme d’onde non sinusoïdale, cela ne raconte pas toute l’histoire.

Additionner les réactances comme de simples résistances positives

Les parties inductive et capacitive portent des signes dans la direction imaginaire. Si vous oubliez le signe, vous pouvez prévoir une mauvaise phase et un mauvais courant.

Mélanger valeurs crête et valeurs RMS

Les deux conventions peuvent fonctionner, mais un calcul donné doit utiliser une seule convention de manière cohérente.

Oublier que l’impédance est complexe

En analyse AC, on ne peut généralement pas additionner seulement les amplitudes des éléments. Il faut additionner les impédances complexes avant de prendre une amplitude.

Où l’on utilise l’impédance et les phaseurs

Cette approche apparaît dans les systèmes de puissance, la conception de filtres, les problèmes de résonance, le traitement du signal et l’électronique lorsque la réponse sinusoïdale est importante. Même lorsque le système final est plus compliqué, l’impédance et les phaseurs constituent souvent le premier modèle clair qui permet de comprendre le comportement.

Essayez un problème similaire

Essayez votre propre version de l’exemple en gardant $R$ fixe et en doublant la fréquence. Comme $Z_C = -j/(\\omega C)$, l’amplitude de l’impédance du condensateur devient plus petite, donc l’amplitude du courant augmente et l’angle de phase se rapproche de $0^\circ$.

Si vous voulez explorer un autre cas avec des valeurs différentes, résolvez un problème de phaseurs similaire avec GPAI Solver.