Phân tích mạch AC — Trở kháng và pha-zơ

Phân tích mạch AC dùng trở kháng và pha-zơ để giải các mạch hình sin ở một tần số cố định. Nếu mạch đang ở trạng thái xác lập hình sin, bạn có thể thay điện trở, cuộn cảm và tụ điện bằng các trở kháng phức rồi tìm độ lớn và pha bằng đại số thay vì phương trình vi phân.

Ý tưởng cốt lõi rất đơn giản: định luật Ohm và các định luật Kirchhoff vẫn đúng, nhưng bây giờ các đại lượng là số phức nên có thể theo dõi cả độ lệch pha lẫn độ lớn.

Trở kháng có ý nghĩa gì trong mạch AC

Trong mạch DC, điện trở thường là đủ để mô tả sự cản trở dòng điện. Trong mạch AC, tụ điện và cuộn cảm cũng quan trọng vì chúng tích trữ và giải phóng năng lượng trong mỗi chu kỳ. Điều đó tạo ra độ lệch pha, nên một số thực duy nhất không còn đủ nữa.

Trở kháng xử lý đồng thời cả hai hiệu ứng đó. Với một tín hiệu hình sin có tần số góc $\\omega$,

$$Z_R = R$$ $$Z_L = j\\omega L$$ $$Z_C = \\frac{1}{j\\omega C} = -\\frac{j}{\\omega C}$$

Ở đây $j^2 = -1$. Trong mô hình lý tưởng này, điện trở không gây lệch pha, cuộn cảm cho trở kháng ảo dương, còn tụ điện cho trở kháng ảo âm.

Nếu tần số thay đổi thì trở kháng của cuộn cảm và tụ điện cũng thay đổi. Đó là lý do vì sao phân tích mạch AC luôn phải nêu rõ tần số.

Pha-zơ biểu diễn điều gì

Pha-zơ là một cách gọn để biểu diễn tín hiệu hình sin cùng với độ lớn và pha của nó. Thay vì phải mang theo toàn bộ hàm theo thời gian ở mọi bước, bạn làm việc với biên độ phức của nó.

Ví dụ, một nguồn được viết là

$$v(t) = V_m \\cos(\\omega t + \\phi)$$

có thể được biểu diễn bằng một pha-zơ có độ lớn và góc pha. Giá trị số cụ thể của độ lớn phụ thuộc vào việc bạn chọn dạng biên độ đỉnh hay RMS, nhưng các quan hệ pha vẫn giữ nguyên miễn là bạn dùng nhất quán.

Quy tắc nhất quán đó rất quan trọng. Không được trộn giá trị đỉnh và giá trị RMS trong cùng một phép tính.

Vì sao trở kháng và pha-zơ giúp đơn giản hóa toán học

Khi mọi thứ đã ở dạng pha-zơ, định luật Ohm vẫn giữ nguyên cấu trúc:

$$\\tilde{V} = \\tilde{I} Z$$

Định luật điện áp Kirchhoff và định luật dòng điện Kirchhoff cũng giữ nguyên logic. Điểm khác biệt là điện áp, dòng điện và trở kháng giờ là các đại lượng phức, nên bạn phải cộng chúng theo cả phần thực lẫn phần ảo.

Đó là lý do phân tích pha-zơ hữu ích trong mạch lọc, mạch điện công suất và các bài toán RLC cơ bản. Nó biến các tín hiệu hình sin lệch thời gian thành những đại lượng có thể kết hợp trực tiếp.

Ví dụ có lời giải: Mạch RC nối tiếp

Giả sử một mạch RC nối tiếp có

$$R = 100\\ \\Omega$$ $$C = 100\\ \\mu\\mathrm{F}$$ $$f = 50\\ \\mathrm{Hz}$$

và pha-zơ nguồn là

\\tilde{V} = 10\\angle 0^\\circ\\ \\mathrm{V}

dùng các giá trị RMS. Hãy tìm pha-zơ dòng điện.

Bắt đầu với tần số góc:

$$\\omega = 2\\pi f = 2\\pi(50) \\approx 314\\ \\mathrm{rad/s}$$

Sau đó tìm trở kháng của tụ điện:

$$Z_C = -\\frac{j}{\\omega C} = -\\frac{j}{314(100 \\times 10^{-6})} \\approx -j31.8\\ \\Omega$$

Bây giờ cộng các trở kháng nối tiếp:

$$Z = R + Z_C = 100 - j31.8\\ \\Omega$$

Đổi kết quả đó sang độ lớn và góc pha:

$$|Z| = \\sqrt\{100^2 + 31.8^2\} \\approx 104.9\\ \\Omega$$

và pha của nó là

\\angle Z = \\tan^{-1}\\left(\\frac{-31.8}{100}\\right) \\approx -17.7^\\circ

Bây giờ dùng định luật Ohm ở dạng pha-zơ:

$$\\tilde{I} = \\frac{\\tilde{V}}{Z}$$

Độ lớn của dòng điện là

$$|\\tilde\{I\}| = \\frac\{10\}\{104.9\} \\approx 0.095\\ \\mathrm\{A\}$$

và pha là

\\angle \\tilde{I} = 0^\\circ - (-17.7^\\circ) = 17.7^\\circ

Vì vậy,

\\tilde{I} \\approx 0.095\\angle 17.7^\\circ\\ \\mathrm{A}

Dòng điện sớm pha hơn điện áp nguồn khoảng 17.7^\\circ. Điều đó phù hợp với ý nghĩa vật lý: trong mạch có tính dung kháng, dòng điện sớm pha hơn điện áp.

Những lỗi thường gặp trong phân tích mạch AC

Dùng phương pháp ngoài điều kiện áp dụng

Phân tích pha-zơ dành cho trạng thái xác lập hình sin ở một tần số cố định. Nếu mạch đang đóng cắt, khởi động hoặc được kích bởi dạng sóng không hình sin, thì đây không phải toàn bộ câu chuyện.

Cộng các điện kháng như điện trở dương thông thường

Phần cảm kháng và dung kháng mang dấu theo trục ảo. Nếu bạn bỏ mất dấu, bạn có thể dự đoán sai pha và sai dòng điện.

Trộn giá trị đỉnh và giá trị RMS

Cả hai quy ước đều dùng được, nhưng một phép tính phải dùng nhất quán một quy ước duy nhất.

Quên rằng trở kháng là số phức

Trong phân tích AC, bạn thường không thể chỉ cộng riêng các độ lớn của phần tử. Bạn phải cộng các trở kháng phức trước rồi mới lấy độ lớn.

Trở kháng và pha-zơ được dùng ở đâu

Cách tiếp cận này xuất hiện trong hệ thống điện, thiết kế bộ lọc, các bài toán cộng hưởng, xử lý tín hiệu và điện tử khi đáp ứng hình sin là quan trọng. Ngay cả khi hệ cuối cùng phức tạp hơn, trở kháng và pha-zơ thường vẫn là mô hình đầu tiên rõ ràng giúp ta hiểu được hành vi của nó.

Hãy thử một bài tương tự

Hãy tự thử một phiên bản khác của ví dụ bằng cách giữ nguyên $R$ và tăng gấp đôi tần số. Vì $Z_C = -j/(\\omega C)$, độ lớn trở kháng của tụ điện sẽ nhỏ đi, nên độ lớn dòng điện tăng lên và góc pha tiến gần hơn tới $0^\circ$.

Nếu bạn muốn khám phá một trường hợp khác với các giá trị khác, hãy giải một bài toán pha-zơ tương tự bằng GPAI Solver.