การวิเคราะห์วงจร AC — อิมพีแดนซ์และเฟสเซอร์

การวิเคราะห์วงจร AC ใช้ อิมพีแดนซ์ และ เฟสเซอร์ เพื่อแก้วงจรไซน์ที่ความถี่คงที่ หากวงจรอยู่ในสภาวะคงตัวแบบไซน์ คุณสามารถแทนตัวต้านทาน ตัวเหนี่ยวนำ และตัวเก็บประจุด้วยอิมพีแดนซ์เชิงซ้อน แล้วหาขนาดและเฟสด้วยพีชคณิตแทนการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

แนวคิดสำคัญนั้นง่ายมาก: กฎของโอห์มและกฎของเคอร์ชอฟฟ์ยังคงใช้ได้เหมือนเดิม แต่ตอนนี้ปริมาณต่าง ๆ เป็นจำนวนเชิงซ้อน จึงติดตามได้ทั้งการเลื่อนเฟสและขนาด

อิมพีแดนซ์ในวงจร AC หมายถึงอะไร

ในวงจร DC ตัวต้านทานมักเพียงพอสำหรับอธิบายการขัดขวางกระแส แต่ในวงจร AC ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำก็มีบทบาทสำคัญ เพราะมีการเก็บและคายพลังงานในแต่ละคาบ สิ่งนี้ทำให้เกิดการเลื่อนเฟส ดังนั้นจำนวนจริงเพียงตัวเดียวจึงไม่เพียงพออีกต่อไป

อิมพีแดนซ์จัดการทั้งสองผลนี้ สำหรับสัญญาณไซน์ที่มีความถี่เชิงมุม $\\omega$

$$Z_R = R$$ $$Z_L = j\\omega L$$ $$Z_C = \\frac{1}{j\\omega C} = -\\frac{j}{\\omega C}$$

โดยที่ $j^2 = -1$ ในแบบจำลองอุดมคตินี้ ตัวต้านทานไม่ทำให้เกิดการเลื่อนเฟส ตัวเหนี่ยวนำให้อิมพีแดนซ์จินตภาพบวก และตัวเก็บประจุให้อิมพีแดนซ์จินตภาพลบ

ถ้าความถี่เปลี่ยน อิมพีแดนซ์ของตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุก็จะเปลี่ยนตามไปด้วย นี่จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมการวิเคราะห์วงจร AC ต้องระบุความถี่เสมอ

เฟสเซอร์แทนอะไร

เฟสเซอร์เป็นวิธีที่กระชับในการแทนสัญญาณไซน์พร้อมทั้งขนาดและเฟส แทนที่จะต้องพกฟังก์ชันตามเวลาเต็มรูปไว้ทุกขั้นตอน คุณจะทำงานกับแอมพลิจูดเชิงซ้อนของมันแทน

ตัวอย่างเช่น แหล่งกำเนิดที่เขียนเป็น

$$v(t) = V_m \\cos(\\omega t + \\phi)$$

สามารถแทนได้ด้วยเฟสเซอร์ที่มีขนาดและมุม ค่าขนาดเชิงตัวเลขที่แน่นอนจะขึ้นอยู่กับว่าคุณเลือกใช้รูปค่าสูงสุดหรือ RMS แต่ความสัมพันธ์ของเฟสจะยังเหมือนเดิมตราบใดที่คุณใช้รูปแบบเดียวกันอย่างสม่ำเสมอ

กฎเรื่องความสม่ำเสมอนี้สำคัญมาก อย่าปะปนค่าค่าสูงสุดกับค่า RMS ในการคำนวณเดียวกัน

ทำไมอิมพีแดนซ์และเฟสเซอร์จึงทำให้คณิตศาสตร์ง่ายขึ้น

เมื่อทุกอย่างอยู่ในรูปเฟสเซอร์แล้ว กฎของโอห์มยังคงมีโครงสร้างเดิม:

$$\\tilde{V} = \\tilde{I} Z$$

กฎกระแสและกฎแรงดันของเคอร์ชอฟฟ์ก็ยังใช้ตรรกะเดิมเช่นกัน ความต่างคือแรงดัน กระแส และอิมพีแดนซ์ตอนนี้เป็นปริมาณเชิงซ้อน ดังนั้นคุณต้องบวกโดยคำนึงถึงทั้งส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

นี่คือเหตุผลที่การวิเคราะห์ด้วยเฟสเซอร์มีประโยชน์ในวงจรกรอง วงจรกำลัง และโจทย์ RLC พื้นฐาน มันเปลี่ยนสัญญาณไซน์ที่เหลื่อมเวลากันให้เป็นปริมาณที่นำมารวมกันได้โดยตรง

ตัวอย่างทำจริง: วงจร RC อนุกรม

สมมติว่าวงจร RC อนุกรมมี

$$R = 100\\ \\Omega$$ $$C = 100\\ \\mu\\mathrm{F}$$ $$f = 50\\ \\mathrm{Hz}$$

และเฟสเซอร์ของแหล่งจ่ายคือ

\\tilde{V} = 10\\angle 0^\\circ\\ \\mathrm{V}

โดยใช้ค่า RMS จงหาเฟสเซอร์ของกระแส

เริ่มจากความถี่เชิงมุม:

$$\\omega = 2\\pi f = 2\\pi(50) \\approx 314\\ \\mathrm{rad/s}$$

จากนั้นหาอิมพีแดนซ์ของตัวเก็บประจุ:

$$Z_C = -\\frac{j}{\\omega C} = -\\frac{j}{314(100 \\times 10^{-6})} \\approx -j31.8\\ \\Omega$$

ตอนนี้บวกอิมพีแดนซ์แบบอนุกรม:

$$Z = R + Z_C = 100 - j31.8\\ \\Omega$$

แปลงผลลัพธ์นี้เป็นขนาดและมุม:

$$|Z| = \\sqrt\{100^2 + 31.8^2\} \\approx 104.9\\ \\Omega$$

และเฟสของมันคือ

\\angle Z = \\tan^{-1}\\left(\\frac{-31.8}{100}\\right) \\approx -17.7^\\circ

ตอนนี้ใช้กฎของโอห์มในรูปเฟสเซอร์:

$$\\tilde{I} = \\frac{\\tilde{V}}{Z}$$

ขนาดของกระแสคือ

$$|\\tilde\{I\}| = \\frac\{10\}\{104.9\} \\approx 0.095\\ \\mathrm\{A\}$$

และเฟสคือ

\\angle \\tilde{I} = 0^\\circ - (-17.7^\\circ) = 17.7^\\circ

ดังนั้น

\\tilde{I} \\approx 0.095\\angle 17.7^\\circ\\ \\mathrm{A}

กระแสนำหน้าแรงดันของแหล่งจ่ายประมาณ 17.7^\\circ ซึ่งสอดคล้องกับภาพทางกายภาพ: ในวงจรที่มีผลของตัวเก็บประจุ กระแสจะนำหน้าแรงดัน

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการวิเคราะห์วงจร AC

ใช้วิธีนี้นอกเงื่อนไขที่มันใช้ได้

การวิเคราะห์ด้วยเฟสเซอร์ใช้สำหรับสภาวะคงตัวแบบไซน์ที่ความถี่คงที่ หากวงจรกำลังสวิตช์ กำลังเริ่มทำงาน หรือถูกป้อนด้วยรูปคลื่นที่ไม่ใช่ไซน์ นี่ไม่ใช่คำอธิบายทั้งหมด

บวกรีแอกแตนซ์เหมือนเป็นความต้านทานบวกธรรมดา

ส่วนของตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุมีเครื่องหมายในทิศทางจินตภาพ ถ้าคุณละเครื่องหมายนั้น คุณอาจทำนายเฟสและกระแสผิดได้

ปะปนค่าค่าสูงสุดกับค่า RMS

ทั้งสองแบบใช้ได้ แต่ในการคำนวณหนึ่งครั้งต้องใช้แบบเดียวกันอย่างสม่ำเสมอ

ลืมว่าอิมพีแดนซ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ในการวิเคราะห์ AC โดยทั่วไป คุณไม่สามารถบวกแค่ขนาดของอุปกรณ์แต่ละตัวได้ คุณต้องบวกอิมพีแดนซ์เชิงซ้อนก่อน แล้วจึงค่อยหาขนาด

อิมพีแดนซ์และเฟสเซอร์ถูกใช้ที่ไหน

แนวทางนี้พบได้ในระบบไฟฟ้ากำลัง การออกแบบวงจรกรอง ปัญหาเรโซแนนซ์ การประมวลผลสัญญาณ และอิเล็กทรอนิกส์ที่สนใจการตอบสนองแบบไซน์ แม้ว่าระบบจริงสุดท้ายจะซับซ้อนกว่านี้ แต่อิมพีแดนซ์และเฟสเซอร์ก็มักเป็นแบบจำลองแรกที่ชัดเจนและช่วยให้เข้าใจพฤติกรรมของระบบได้

ลองทำโจทย์คล้ายกัน

ลองปรับโจทย์ตัวอย่างด้วยตัวเองโดยคงค่า $R$ ไว้เท่าเดิมแล้วเพิ่มความถี่เป็นสองเท่า เนื่องจาก $Z_C = -j/(\\omega C)$ ขนาดของอิมพีแดนซ์ตัวเก็บประจุจะเล็กลง ดังนั้นขนาดของกระแสจะเพิ่มขึ้น และมุมเฟสจะขยับเข้าใกล้ $0^\circ$ มากขึ้น

ถ้าคุณอยากลองอีกกรณีหนึ่งที่ใช้ค่าต่างออกไป ให้แก้โจทย์เฟสเซอร์ลักษณะคล้ายกันด้วย GPAI Solver