Équations du second degré — Formule quadratique, discriminant et exemples

Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Pour les examens ou les devoirs, on peut généralement résoudre ce type de problème en trois étapes : mettre l'équation sous forme standard, utiliser le discriminant pour déterminer le nombre de solutions, puis appliquer la formule quadratique si nécessaire.

Tout d'abord, voici les deux formules essentielles à retenir :

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Qu'est-ce qu'une équation du second degré ? (Terme en $x^2$)

Une équation du second degré est une équation où la puissance la plus élevée de l'inconnue est $2$. Par exemple, $x^2 - 4x + 1 = 0$ est une équation du second degré, tandis que $2x + 3 = 0$ est une équation linéaire (premier degré).

D'un point de vue graphique, cela revient à chercher les points d'intersection entre une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ et l'axe $x$. C'est pourquoi le discriminant est particulièrement utile pour anticiper le nombre de solutions.

Déterminer le nombre de solutions avec le discriminant

Le discriminant est défini par :

$D = b^2 - 4ac$

Cette valeur permet de savoir rapidement combien de solutions existent dans l'ensemble des nombres réels :

• Si $D > 0$ : deux racines réelles distinctes.
• Si $D = 0$ : une racine double (une seule solution).
• Si $D < 0$ : aucune racine réelle.

L'élément clé ici est la mention "ensemble des réels". Si l'on étend l'étude aux nombres complexes, on peut trouver des solutions même si $D < 0$.

Le discriminant $D = b^2 - 4ac$ se trouve précisément sous la racine carrée de la formule quadratique. C'est pourquoi le signe de $D$ est directement lié au nombre de solutions.

Quand utiliser la formule quadratique ?

Si une expression peut être factorisée rapidement, la factorisation est la méthode la plus efficace. Cependant, on rencontre souvent des équations qui ne se factorisent pas avec des nombres entiers simples. Dans ce cas, la méthode la plus fiable est la formule quadratique.

La formule est la suivante :

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Attention : cette formule ne doit être utilisée que lorsque l'équation est bien organisée sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Si vous l'appliquez sans remettre l'équation sous forme standard, vous risquez de vous tromper dans les signes de $b$ ou $c$.

Exemple d'équation du second degré : résolution complète

Résolvons l'équation suivante :

$x^2 - 4x + 1 = 0$

L'équation est déjà sous forme standard, nous avons donc :

$a = 1,\quad b = -4,\quad c = 1$

1. Vérification du discriminant

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

Comme $D = 12 > 0$, nous savons qu'il y aura deux solutions réelles distinctes.

2. Application de la formule quadratique

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

En simplifiant :

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

Et puisque $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, nous avons :

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

Par conséquent :

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Les points clés de cet exemple sont : on peut résoudre l'équation même quand la factorisation n'est pas évidente, et le discriminant nous permet de connaître le nombre de solutions avant même de commencer les calculs.

Erreurs fréquentes

Appliquer la formule sans passer par la forme standard

Par exemple, pour $x^2 + 1 = 4x$, vous ne pouvez pas injecter les valeurs telles quelles. Vous devez d'abord transformer l'équation en :

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Afin de pouvoir identifier correctement $b = -4$.

Erreur de signe sur $-b$

Si $b = -4$, alors on utilise $-b = 4$. Une seule erreur de signe ici et tout le résultat final sera faux.

Calculer le discriminant sans en interpréter le sens

Il faut se rappeler le lien : $D > 0$ $\rightarrow$ deux solutions, $D = 0$ $\rightarrow$ une solution, $D < 0$ $\rightarrow$ pas de solution réelle. Le discriminant n'est pas qu'un simple calcul numérique, c'est un outil pour comprendre la nature des solutions.

Applications des équations du second degré

Les équations du second degré sont la base de l'algèbre au collège et au lycée. Elles apparaissent constamment dans l'étude des paraboles, les problèmes d'aire, ainsi que pour trouver des maximums et des minimums. Dès qu'une situation est modélisée par un terme au carré, la résolution d'une équation du second degré devient nécessaire.

En lien avec les fonctions, les solutions correspondent aux points où la parabole coupe l'axe $x$. Le discriminant nous indique donc si la courbe coupe l'axe $x$ en deux points, s'y appuie tangentiellement en un seul point, ou ne le touche pas du tout.

À vous de jouer !

Essayez de résoudre l'équation suivante en suivant les mêmes étapes :

$2x^2 + 3x - 1 = 0$

Identifiez d'abord $a$, $b$ et $c$, calculez le discriminant, puis terminez avec la formule quadratique. En résolvant un seul exercice supplémentaire, la logique des équations du second degré deviendra beaucoup plus claire pour vous.