Persamaan Kuadrat — Rumus Kuadratik, Diskriminan, dan Contoh Soal

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk $ax^2 + bx + c = 0$. Dalam ujian atau tugas sekolah, biasanya kamu bisa menyelesaikannya dalam tiga langkah: rapikan persamaan ke bentuk standar, tentukan jumlah akar dengan diskriminan, lalu hitung menggunakan rumus kuadratik jika diperlukan.

Pertama-tama, dua rumus di bawah ini adalah kuncinya:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Pengertian Persamaan Kuadrat: Persamaan dengan Suku Tertinggi $x^2$

Persamaan kuadrat adalah persamaan di mana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah $2$. Sebagai contoh, $x^2 - 4x + 1 = 0$ adalah persamaan kuadrat, sedangkan $2x + 3 = 0$ adalah persamaan linear.

Jika dilihat dari grafik, ini berkaitan dengan mencari titik di mana parabola $y = ax^2 + bx + c$ berpotongan dengan sumbu $x$. Oleh karena itu, diskriminan sangat berguna untuk menentukan jumlah akar yang dimiliki.

Menentukan Jumlah Akar Terlebih Dahulu dengan Diskriminan

Diskriminan adalah:

$D = b^2 - 4ac$

Nilai ini menunjukkan dengan cepat berapa banyak akar yang ada dalam rentang bilangan riil.

• Jika $D > 0$, maka terdapat dua akar riil yang berbeda.
• Jika $D = 0$, maka terdapat satu akar kembar (akar ganda).
• Jika $D < 0$, maka tidak ada akar riil.

Kondisi penting di sini adalah "rentang bilangan riil". Jika diperluas hingga bilangan kompleks, persamaan tetap bisa memiliki akar meskipun $D < 0$.

Perhatikan bahwa $D = b^2 - 4ac$ berada tepat di dalam akar kuadrat pada rumus kuadratik. Itulah sebabnya tanda dari $D$ berhubungan langsung dengan jumlah akar.

Kapan Sebaiknya Menggunakan Rumus Kuadratik?

Jika persamaan bisa difaktorkan dengan cepat, maka faktorisasi adalah cara tercepat. Namun, dalam ujian sering muncul persamaan yang tidak bisa dipecah menjadi bilangan bulat yang sederhana. Dalam kondisi seperti itu, metode yang paling stabil adalah menggunakan rumus kuadratik.

Rumus kuadratik adalah sebagai berikut:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Rumus ini harus digunakan setelah persamaan dirapikan ke dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$. Jika kamu langsung memasukkan angka tanpa merapikannya, kamu akan mudah salah dalam menentukan tanda $b$ atau $c$.

Contoh Persamaan Kuadrat: Menyelesaikan Satu Soal Hingga Tuntas

Mari kita selesaikan persamaan berikut:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Karena persamaan ini sudah dalam bentuk standar, maka:

$a = 1,\quad b = -4,\quad c = 1$

1. Periksa Diskriminan Terlebih Dahulu

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

Karena $D = 12 > 0$, maka akan ada dua akar riil yang berbeda.

2. Substitusikan ke Rumus Kuadratik

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Jika disederhanakan menjadi:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

Dan karena $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, maka:

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

Sehingga:

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Ada dua poin penting dari contoh ini: pertama, soal tetap bisa dikerjakan meskipun faktorisasi tidak terlihat secara langsung; kedua, dengan melihat diskriminan terlebih dahulu, kita sudah tahu bahwa ada dua akar sebelum mulai menghitung.

Kesalahan yang Sering Terjadi

Kesalahan Memasukkan Angka ke Rumus Tanpa Mengubah ke Bentuk Standar

Contohnya, $x^2 + 1 = 4x$ tidak boleh langsung dimasukkan ke rumus. Kamu harus memindahkannya terlebih dahulu menjadi:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Agar bisa membaca $b = -4$ dengan tepat.

Kesalahan Menentukan Tanda $-b$

Jika $b = -4$, maka menjadi $-b = 4$. Jika salah menentukan tanda di bagian ini, seluruh jawaban akhir akan berubah.

Kesalahan Menghitung Diskriminan Tanpa Memahami Maknanya

Kamu harus mengingat hubungan bahwa jika $D > 0$ maka ada dua akar, jika $D = 0$ maka satu akar, dan jika $D < 0$ maka tidak ada akar riil. Diskriminan bukan sekadar alat hitung angka, melainkan alat untuk membaca karakteristik akar.

Di Mana Persamaan Kuadrat Digunakan?

Persamaan kuadrat bukan hanya dasar aljabar di SMP dan SMA, tetapi juga terus muncul saat mempelajari grafik parabola, masalah luas, serta masalah nilai maksimum dan minimum. Setiap situasi yang dimodelkan dengan suku kuadrat pada akhirnya akan membutuhkan langkah penyelesaian persamaan kuadrat.

Khususnya jika dihubungkan dengan grafik fungsi, akar adalah titik di mana parabola memotong sumbu $x$. Jadi, diskriminan bisa dipandang sebagai kriteria untuk mengetahui apakah grafik memotong sumbu $x$ di dua titik, hanya menyinggung di satu titik, atau tidak memotong sama sekali.

Coba Kerjakan Satu Soal Lagi

Gunakan langkah yang sama untuk menyelesaikan:

$2x^2 + 3x - 1 = 0$

Cobalah sendiri. Pertama, tentukan $a$, $b$, dan $c$, lalu hitung diskriminannya, dan akhiri dengan rumus kuadratik. Mengerjakan satu soal serupa saja akan membuat pemahamanmu tentang alur persamaan kuadrat menjadi jauh lebih jelas.