Δευτεροβάθμιες Εξισώσεις — Τύπος Ριζών, Διακρίνουσα, Παραδείγματα

Μια δευτεροβάθμια εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής $ax^2 + bx + c = 0$. Στις εξετάσεις ή στις ασκήσεις, συνήθως μπορείτε να τη λύσετε σε τρία βήματα: φέρετε την εξίσωση στην τυπική της μορφή, προσδιορίστε τον αριθμό των λύσεων με τη διακρίνουσα και, αν χρειάζεται, υπολογίστε τις ρίζες χρησιμοποιώντας τον τύπο των ριζών.

Αρχικά, οι δύο παρακάτω εκφράσεις είναι οι πιο σημαντικές:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Τι είναι η δευτεροβάθμια εξίσωση: Εξίσωση με μεγιστο βαθμό $x^2$

Δευτεροβάθμια εξίσωση είναι μια εξίσωση όπου ο υψηλότερος βαθμός της αγνώστου είναι το $2$. Για παράδειγμα, η $x^2 - 4x + 1 = 0$ είναι δευτεροβάθμια εξίσωση, ενώ η $2x + 3 = 0$ είναι πρωτοβάθμια.

Αν τη δούμε γραφικά, αυτό συνδέεται με το πρόβλημα εύρεσης των σημείων όπου η παραβολή $y = ax^2 + bx + c$ τέμνει τον άξονα $x$. Γι' αυτό, η διακρίνουσα είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν εξετάζουμε τον αριθμό των λύσεων.

Προσδιορισμός του αριθμού των λύσεων με τη διακρίνουσα

Η διακρίνουσα είναι:

$D = b^2 - 4ac$

Αυτή η τιμή μας δείχνει γρήγορα πόσες λύσεις υπάρχουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

• Αν $D > 0$, τότε υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
• Αν $D = 0$, τότε υπάρχει μία διπλή ρίζα.
• Αν $D < 0$, τότε δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Εδώ, ο κρίσιμος όρος είναι το "σύνολο των πραγματικών αριθμών". Αν επεκτείνουμε τη λύση στους μιγαδικούς αριθμούς, τότε ακόμα και αν $D < 0$, η εξίσωση μπορεί να έχει λύσεις.

Η διακρίνουσα $D = b^2 - 4ac$ βρίσκεται ακριβώς μέσα στη and ρίζα του τύπου των ριζών. Επομένως, το πρόσημο του $D$ συνδέεται άμεσα με τον αριθμό των λύσεων.

Πότε είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε τον τύπο των ριζών

Αν μια εξίσωση μπορεί να λυθεί εύκολα με παραγοντοποίηση, τότε η παραγοντοποίηση είναι πιο γρήγορη. Ωστόσο, στις εξετάσεις συναντάμε συχνά εκφράσεις που δεν αναλύονται εύκολα σε ακέραιους. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η πιο αξιόπιστη μέθοδος είναι ο τύπος των ριζών.

Ο τύπος των ριζών είναι ο εξής:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Αυτός ο τύπος πρέπει να χρησιμοποιείται οбя⎝ίως αφού η εξίσωση έχει φερθεί στη μορφή $ax^2 + bx + c = 0$. Αν την εφαρμόσετε χωρίς προηγούμενη ταξινόμηση, είναι πολύ εύκολο να κάνετε λάθος στο πρόσημο του $b$ ή του $c$.

Παράδειγμα δευτεροβάθμιας εξίσωσης: Λύση ενός προβλήματος από την αρχή μέχρι το τέλος

Ας λύσουμε την εξής εξίσωση:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

Επειδή η εξίσωση είναι ήδη στην τυπική της μορφή, έχουμε:

$a = 1,\quad b = -4,\quad c = 1$

1. Ελέγχουμε πρώτα τη διακρίνουσα

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

Επειδή $D = 12 > 0$, υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές λύσεις.

2. Αντικαθιστούμε στον τύπο των ριζών

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Απλοποιώντας:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

Και εφόσον $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, έχουμε:

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

Επομένως:

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

Το κλειδί σε αυτό το παράδειγμα είναι δύο πράγματα: πρώτον, ότι μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση ακόμα κι αν η παραγοντοποίηση δεν είναι προφανής, και δεύτερον, ότι η διακρίνουσα μας ενημερώνει για τον αριθμό των λύσεων πριν καν ξεκινήσουμε τους τελικούς υπολογισμούς.

Συνηθισμένα λάθη

Λάθος εφαρμογή του τύπου χωρίς μετατροπή σε τυπική μορφή

Για παράδειγμα, στην περίπτωση της $x^2 + 1 = 4x$, δεν πρέπει να αντικαταστήσετε τις τιμές απευθείας. Πρέπει πρώτα να τη φέρετε στη μορφή:

$x^2 - 4x + 1 = 0$

ώστε να μπορείτε να αναγνωρίσετε σωστά το $b = -4$.

Λάθος στο πρόσημο του $-b$

Αν $b = -4$, τότε το αποτέλεσμα είναι $-b = 4$. Ένα λάθος στο πρόσημο εδώ θα αλλάξει τελείως το τελικό αποτέλεσμα.

Υπολογισμός της διακρίνουσας χωρίς σύνδεση με το νόημά της

Πρέπει να θυμόμαστε τη σύνδεση: $D > 0$ σημαίνει δύο λύσεις, $D = 0$ μία λύση και $D < 0$ καμία πραγματική ρίζα. Η διακρίνουσα δεν είναι απλώς ένα εργαλείο υπολογισμού αριθμών, αλλά ένα εργαλείο για να καταλάβουμε τη μορφή των λύσεων.

Πού χρησιμοποιούνται οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις δεν είναι μόνο η βάση της άλγεβρας στο γυμνάσιο και το λύκειο, αλλά εμφανίζονται συνεχώς όταν μελετάμε παραβολικά γραφήματα, προβλήματα εμβαδού, καθώς και προβλήματα μεγιστοποίησης και ελαχιστοποίησης. Οποιαδήποτε κατάσταση μοντελοποιείται με έναν τετραγωνικό όρο, καταλήγει τελικά στη necessidade επίλυσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης.

Συγκεκριμένα, αν τις συνδέσουμε με τα γραφήματα των συναρτήσεων, οι λύσεις είναι τα σημεία όπου η παραβολή τέμνει τον άξονα $x$. Έτσι, η διακρίνουσα μπορεί να θεωρηθεί ως το κριτήριο που μας λέει αν το γράφημα τέμνει τον άξονα $x$ σε δύο σημεία, αν εφάπτεται σε ένα σημείο ή αν δεν τον τέμνει καθόλου.

Δοκιμάστε να λύσετε μία ακόμα

Ακολουθώντας τα ίδια βήματα, δοκιμάστε να λύσετε μόνοι σας την εξής εξίσωση:

$2x^2 + 3x - 1 = 0$

Αρχικά αναγνωρίστε τα $a$, $b$, $c$, υπολογίστε τη διακρίνουσα και ολοκληρώστε τη λύση με τον τύπο των ριζών. Λύνοντας έστω και μία ακόμα παρόμοια άσκηση, η διαδικασία επίλυσης των δευτεροβάθμιων εξισώσεων θα γίνει πολύ πιο ξεκάθαρη.