สมการกำลังสอง — สูตรคำตอบ, ดิสคริมิแนนต์ และตัวอย่าง

สมการกำลังสองคือสมการที่อยู่ในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ สำหรับการทำข้อสอบหรือการบ้าน โดยปกติแล้วเราสามารถแก้โจทย์ได้ใน 3 ขั้นตอน คือ จัดรูปสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน, ใช้ดิสคริมิแนนต์พิจารณาจำนวนคำตอบ และหากจำเป็น ให้คำนวณหาคำตอบด้วยสูตรคำตอบ

ก่อนอื่น สองสูตรด้านล่างนี้คือหัวใจสำคัญครับ

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0)$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ความหมายของสมการกำลังสอง: สมการที่มีพจน์สูงสุดคือ $x^2$

สมการกำลังสองคือสมการที่ตัวแปรมีเลขชี้กำลังสูงสุดเป็น $2$ ตัวอย่างเช่น $x^2 - 4x + 1 = 0$ เป็นสมการกำลังสอง แต่ $2x + 3 = 0$ เป็นสมการเชิงเส้น

หากมองในรูปแบบกราฟ จะเชื่อมโยงกับการหาจุดที่พาราโบลา $y = ax^2 + bx + c$ ตัดกับแกน $x$ ดังนั้น ดิสคริมิแนนต์จึงมีประโยชน์มากในการพิจารณาจำนวนคำตอบ

การใช้ดิสคริมิแนนต์พิจารณาจำนวนคำตอบ

ดิสคริมิแนนต์ (Discriminant) คือ

$D = b^2 - 4ac$

ค่านี้จะบอกเราได้อย่างรวดเร็วว่ามีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงกี่คำตอบ

• ถ้า $D > 0$ จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกันสองคำตอบ
• ถ้า $D = 0$ จะมีคำตอบเดียว (คำตอบซ้ำ)
• ถ้า $D < 0$ จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง

เงื่อนไขสำคัญที่นี่คือ "ขอบเขตของจำนวนจริง" หากเราขยายขอบเขตไปถึงจำนวนเชิงซ้อน แม้ว่า $D < 0$ ก็ยังสามารถมีคำตอบได้

สังเกตว่าในเครื่องหมายราก (square root) ของสูตรคำตอบจะมี $D = b^2 - 4ac$ อยู่พอดี ดังนั้นเครื่องหมายของ $D$ จึงเชื่อมโยงกับจำนวนคำตอบโดยตรงครับ

ควรใช้สูตรคำตอบเมื่อไหร่

หากสมการสามารถแยกตัวประกอบได้ทันที การแยกตัวประกอบจะรวดเร็วกว่า แต่ในข้อสอบมักจะมีสมการที่แยกเป็นจำนวนเต็มสวยๆ ไม่ได้ ซึ่งในกรณีนั้น วิธีที่มั่นใจได้ที่สุดคือการใช้สูตรคำตอบ

สูตรคำตอบมีดังนี้ครับ

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ข้อควรระวังคือ ต้องจัดรูปสมการให้อยู่ในรูป $ax^2 + bx + c = 0$ ก่อนนำไปใช้เสมอ หากนำตัวเลขไปแทนค่าโดยไม่จัดรูปก่อน มีโอกาสสูงที่จะใส่เครื่องหมายของ $b$ หรือ $c$ ผิด

ตัวอย่างสมการกำลังสอง: ลองแก้โจทย์ตั้งแต่ต้นจนจบ

ลองมาแก้สมการข้อนี้กันครับ

$x^2 - 4x + 1 = 0$

เนื่องจากสมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐานแล้ว เราจะได้

$a = 1,\quad b = -4,\quad c = 1$

1. พิจารณาดิสคริมิแนนต์ก่อน

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$

เนื่องจาก $D = 12 > 0$ ดังนั้นในขอบเขตจำนวนจริงจะมีคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบ

2. แทนค่าในสูตรคำตอบ

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

จัดรูปจะได้

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}$

และเนื่องจาก $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ ดังนั้น

$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

สรุปคำตอบคือ

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

จุดสำคัญของตัวอย่างนี้มีสองอย่างครับ คือ หนึ่ง เราสามารถหาคำตอบได้แม้จะมองไม่ออกว่าแยกตัวประกอบอย่างไร และสอง การดูดิสคริมิแนนต์ก่อนจะทำให้เรารู้ว่าคำตอบมีสองค่าก่อนที่จะเริ่มคำนวณจริง

จุดที่มักผิดบ่อย

การแทนค่าในสูตรโดยไม่จัดรูปมาตรฐาน

ตัวอย่างเช่น $x^2 + 1 = 4x$ ไม่สามารถแทนค่าลงไปตรงๆ ได้ ต้องย้ายข้างให้เป็น

$x^2 - 4x + 1 = 0$

ก่อน จึงจะระบุค่า $b = -4$ ได้อย่างถูกต้อง

การใส่เครื่องหมายของ $-b$ ผิด

ถ้า $b = -4$ จะต้องเป็น $-b = 4$ หากผิดเครื่องหมายเพียงจุดเดียว คำตอบสุดท้ายจะเปลี่ยนไปทั้งหมดทันที

คำนวณดิสคริมิแนนต์ได้แต่ไม่วิเคราะห์ความหมาย

ต้องจำให้ได้ว่า $D > 0$ คือมีสองคำตอบ, $D = 0$ คือหนึ่งคำตอบ และ $D < 0$ คือไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง ดิสคริมิแนนต์ไม่ใช่แค่เครื่องมือคำนวณตัวเลข แต่เป็นเครื่องมือที่ใช้อ่านลักษณะของคำตอบครับ

สมการกำลังสองนำไปใช้ที่ไหนบ้าง

สมการกำลังสองไม่เพียงแต่เป็นพื้นฐานของพีชคณิตในระดับมัธยมต้นและปลายเท่านั้น แต่ยังปรากฏให้เห็นเสมอเมื่อเราศึกษาเรื่องกราฟพาราโบลา, โจทย์ปัญหาพื้นที่, รวมถึงการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด หากสถานการณ์ใดๆ ถูกจำลองด้วยพจน์ยกกำลังสอง ในที่สุดเราก็ต้องใช้ขั้นตอนการแก้สมการกำลังสองครับ

โดยเฉพาะเมื่อเชื่อมโยงกับกราฟของฟังก์ชัน คำตอบก็คือตำแหน่งที่พาราโบลาตัดกับแกน $x$ ดังนั้นดิสคริมิแนนต์จึงเป็นเกณฑ์ที่บอกว่ากราฟตัดแกน $x$ สองจุด, สัมผัสเพียงจุดเดียว หรือไม่ตัดแกนเลย

ลองฝึกทำด้วยตัวเองอีกข้อ

ลองทำโจทย์ข้อนี้โดยใช้ขั้นตอนเดียวกันดูครับ

$2x^2 + 3x - 1 = 0$

เริ่มจากระบุค่า $a$, $b$, $c$ จากนั้นคำนวณดิสคริมิแนนต์ และปิดท้ายด้วยการใช้สูตรคำตอบ การลองทำโจทย์ที่คล้ายกันเพิ่มอีกเพียงข้อเดียว จะทำให้คุณเห็นภาพรวมของสมการกำลังสองได้ชัดเจนขึ้นมากครับ