Intégrales — Méthodes de calcul et exercice corrigé

Une intégrale sert soit à trouver une primitive, soit à calculer une accumulation sur un intervalle. Si vous cherchez comment calculer une intégrale, la première question est donc simple : avez-vous une primitive à trouver, ou une intégrale définie à évaluer ?

Dans les deux cas, les formules de base sont celles-ci :

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C \quad \text{si } F'(x)=f(x),$$

et, si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle,

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

Une intégrale indéfinie cherche donc quelle fonction dérive en $f$. Une intégrale définie additionne un effet entre deux bornes. Quand $f(x) \ge 0$ sur $[a,b]$, cette accumulation coïncide avec l'aire sous la courbe.

Intégrale définie ou primitive : la différence essentielle

L'intégrale définie mesure un total construit à partir de petites contributions. En géométrie, cela peut être une aire signée. En physique, intégrer une vitesse donne un déplacement net. Si la vitesse change de signe, on n'obtient pas la distance totale, mais le bilan global.

L'intégrale indéfinie, elle, ne donne pas un nombre mais une famille de fonctions. C'est pour cela que le terme $+C$ est indispensable : deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Méthodes de calcul d'intégrales à connaître

Avant de calculer, regardez la forme de l'intégrande. L'intégration est moins mécanique que la dérivation : le bon réflexe est donc de reconnaître un motif avant de choisir une méthode.

1. Linéarité et primitives usuelles

Si l'expression est une somme, une différence, ou un multiple constant, on simplifie avec

$$\int \left(af(x)+bg(x)\right)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.$$

Ensuite, on applique les primitives usuelles. Par exemple, pour $n \ne -1$,

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,$$

et

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \quad \text{pour } x \ne 0.$$

2. Changement de variable

Cette méthode est utile quand l'intégrande contient une fonction et, en facteur, sa dérivée ou quelque chose de très proche. L'idée est de poser une nouvelle variable pour simplifier l'expression.

Si on pose $u=g(x)$, alors on remplace aussi $dx$ via $du=g'(x)\,dx$. Sur une intégrale définie, il faut aussi transformer les bornes.

3. Intégration par parties

Quand l'intégrande est un produit, surtout du type polynôme fois exponentielle, fonction trigonométrique ou logarithme, on pense à

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du.$$

Cette méthode vient de la formule de dérivation d'un produit. Elle est utile seulement si le nouveau calcul devient vraiment plus simple.

Exercice corrigé : calculer une intégrale par changement de variable

Calculons

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx.$$

Ici, l'expression $\cos(x^2)$ est composée, et le facteur $2x$ est exactement la dérivée de $x^2$. C'est donc un bon cas pour un changement de variable.

Posons

$$u=x^2.$$

Alors

$$du = 2x\,dx.$$

Comme l'intégrale est définie, on change aussi les bornes :

$$x=0 \Rightarrow u=0, \qquad x=1 \Rightarrow u=1.$$

L'intégrale devient

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx = \int_0^1 \cos(u)\,du.$$

On intègre maintenant directement :

$$\int_0^1 \cos(u)\,du = \sin(u)\Big|_0^1 = \sin(1)-\sin(0).$$

Donc

$$\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(1).$$

Cet exemple montre le bon signal : une fonction "à l'intérieur" et sa dérivée juste devant. Quand cette structure apparaît, le changement de variable est souvent la première méthode à tester.

Erreurs fréquentes en calcul d'intégrales

Oublier $+C$

Pour une primitive, écrire seulement $F(x)$ au lieu de $F(x)+C$ donne une réponse incomplète.

Utiliser la règle des puissances sur $\frac{1}{x}$

Le cas $x^{-1}$ est spécial. On ne peut pas écrire

$$\int x^{-1}\,dx = \frac{x^0}{0}.$$

La bonne primitive est

$$\ln|x|+C.$$

Ne pas changer les bornes après un changement de variable

Sur une intégrale définie, si vous passez de $x$ à $u$, vous devez soit changer les bornes, soit revenir ensuite à la variable initiale. Mélanger les deux conduit vite à une erreur.

Croire que l'intégrale est toujours une aire positive

Si la courbe passe sous l'axe des abscisses, l'intégrale définie additionne des contributions négatives. Elle donne donc une aire signée, pas forcément l'aire géométrique totale.

Quand utilise-t-on les intégrales ?

Les intégrales apparaissent dès qu'une quantité est obtenue en accumulant de petites variations : aire, déplacement, masse répartie, travail, probabilité sur un intervalle, moyenne continue. Le calcul n'a de sens que si le modèle correspond bien à la grandeur cherchée.

En pratique, la meilleure question à se poser est simple : est-ce que je cherche une primitive, ou un total sur un intervalle ? Ce choix clarifie aussitôt la méthode et la forme attendue de la réponse.

Essayez un exercice proche

Essayez maintenant

$$\int_0^2 x e^{x^2}\,dx.$$

Le bon réflexe est le même que dans l'exemple corrigé. Cherchez d'abord la fonction intérieure, puis voyez si sa dérivée apparaît en facteur. Essayez votre propre version, puis vérifiez si un changement de variable suffit à tout simplifier.