Fractions : addition, soustraction et simplification

Pour additionner ou soustraire des fractions, commencez par les mettre au même dénominateur. Ensuite, additionnez ou soustrayez seulement les numérateurs, puis simplifiez si le résultat a un facteur commun. C'est la méthode utile dans la plupart des exercices sur les fractions.

Une fraction représente une part d'un tout. Si elle s'écrit $\\frac{a}{b}$, alors le dénominateur doit vérifier $b \\ne 0$. Sans cette condition, la fraction n'est pas définie.

Ce qu'une fraction veut dire

Dans $\\frac{a}{b}$, le numérateur $a$ indique combien de parts on prend, et le dénominateur $b$ indique en combien de parts égales le tout a été partagé.

Par exemple, $\\frac{3}{4}$ signifie trois parts quand l'unité a été partagée en quatre parts égales. C'est pour cela que $\\frac{1}{2}$ et $\\frac{1}{3}$ ne s'additionnent pas directement : une moitié et un tiers ne sont pas des parts de même taille.

Pourquoi le dénominateur commun est indispensable

L'addition et la soustraction comparent ou regroupent des parts de même type. Si les dénominateurs sont différents, on commence donc par réécrire les fractions avec un dénominateur commun.

Une fois ce dénominateur commun trouvé, la règle utile est :

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b}$$

et, de la même façon,

$$\frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}.$$

Ces deux écritures ne sont valides que si le dénominateur est déjà le même.

Comment simplifier une fraction

Simplifier une fraction, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par un même facteur strictement supérieur à $1$.

Par exemple,

$$\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

car on divise en haut et en bas par $2$. La valeur ne change pas. On obtient seulement une écriture plus simple.

Une fraction est dite irréductible quand le numérateur et le dénominateur n'ont plus de facteur commun autre que $1$.

Exemple résolu : $\\frac{2}{3} + \\frac{1}{6}$ puis $\\frac{2}{3} - \\frac{1}{6}$

Ces deux fractions ont des dénominateurs différents, $3$ et $6$. On les réécrit donc avec le même dénominateur. Ici, $6$ convient, car $\\frac{2}{3}$ peut s'écrire en sixièmes :

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

et

$$\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$$

On travaille donc avec $\\frac{4}{6}$ et $\\frac{1}{6}$.

Addition de fractions

Maintenant que les deux fractions sont en sixièmes, on peut additionner les numérateurs :

$$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}.$$

Le résultat est déjà simplifié, car $5$ et $6$ n'ont pas de facteur commun autre que $1$.

Soustraction de fractions

On garde le même dénominateur commun :

$$\frac{2}{3} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6}.$$

Cette fois, on peut simplifier :

$$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

Cet exemple montre les deux idées à retenir : on aligne d'abord les dénominateurs, puis on simplifie à la fin si c'est possible.

Erreurs fréquentes avec les fractions

La plus courante est d'additionner ou de soustraire aussi les dénominateurs. En général,

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \ne \frac{2}{5}.$$

Une autre erreur consiste à changer le dénominateur sans changer le numérateur de façon équivalente. Si $\\frac{2}{3}$ devient des sixièmes, on obtient $\\frac{4}{6}$, pas $\\frac{2}{6}$.

On voit aussi souvent des résultats non simplifiés. Écrire $\\frac{3}{6}$ n'est pas faux, mais $\\frac{1}{2}$ est la forme simplifiée attendue dans la plupart des exercices.

Quand on additionne ou simplifie des fractions

Les fractions apparaissent dans les mesures, les recettes, les probabilités, les vitesses moyennes, et plus largement dans tous les problèmes où une quantité est partagée en parts égales.

En pratique, la bonne question à se poser est : est-ce que je combine des parts de même taille ? Si non, il faut d'abord chercher un dénominateur commun.

Essayez un exercice proche

Essayez maintenant de calculer $\\frac{3}{4} + \\frac{1}{8}$ puis $\\frac{3}{4} - \\frac{1}{8}$. Cherchez d'abord le dénominateur commun, puis vérifiez si le résultat final se simplifie.

Si vous voulez aller plus loin, essayez votre propre version avec d'autres dénominateurs et comparez chaque étape avec une résolution pas à pas.