Équations différentielles

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction, pas un nombre. Elle relie cette fonction à une ou plusieurs de ses dérivées, donc à sa façon de varier.

En pratique, on l'utilise dès qu'une grandeur évolue et que son taux de variation fait partie du problème: croissance, refroidissement, mouvement ou circuit électrique simple.

Définition simple et intuition

Dans une équation classique, l'inconnue est souvent un nombre. Dans une équation différentielle, l'inconnue est une fonction, par exemple $y(x)$.

Par exemple,

$$\frac{dy}{dx} = 3y$$

signifie que le taux de variation de $y$ est proportionnel à la valeur de $y$. Si $y$ est grande, sa variation l'est aussi. Si $y = 0$, alors sa dérivée vaut aussi $0$.

Cette idée apparaît souvent dans les modèles de croissance ou de décroissance exponentielle.

Comment reconnaître l'ordre d'une équation différentielle

Le premier point à regarder est l'ordre. L'ordre d'une équation différentielle est donné par la dérivée de plus haut rang qui apparaît.

Par exemple :

$$y' + 2y = 0$$

est une équation différentielle du premier ordre, parce que la dérivée la plus élevée est $y'$.

En revanche,

$$y'' - 4y = 0$$

est du second ordre, parce que la dérivée la plus élevée est $y''$.

On distingue aussi souvent :

1. Les équations différentielles ordinaires, où la fonction dépend d'une seule variable.
2. Les équations aux dérivées partielles, où elle dépend de plusieurs variables.

Sur cette page, on parle surtout du cas ordinaire, celui que les élèves rencontrent le plus tôt.

Ce que résoudre l'équation veut dire

Résoudre une équation différentielle, ce n'est pas "trouver $x$". C'est trouver toutes les fonctions qui vérifient l'équation.

Très souvent, on obtient d'abord une famille de solutions avec une constante, appelée solution générale. Si une condition initiale est donnée, par exemple $y(0) = 2$, on peut fixer cette constante et obtenir une solution particulière.

Exemple résolu avec condition initiale

Prenons

$$\frac{dy}{dx} = 3y \quad \text{avec} \quad y(0) = 2$$

Cet exemple montre à la fois la solution générale et le rôle de la condition initiale.

Pour $y \neq 0$, cette équation est séparable, donc on peut regrouper les termes en $y$ d'un côté et ceux en $x$ de l'autre :

$$\frac{1}{y} \, dy = 3 \, dx$$

On intègre des deux côtés :

$$\int \frac{1}{y} \, dy = \int 3 \, dx$$

ce qui donne

$$\ln |y| = 3x + C$$

En exponentiant, on obtient une famille de solutions que l'on peut écrire

$$y = Ce^{3x}$$

Cette écriture inclut aussi la solution nulle quand $C = 0$.

On utilise maintenant la condition initiale :

$$2 = Ce^{3 \cdot 0} = C$$

donc

$$y = 2e^{3x}$$

L'idée centrale est là: l'équation donne une famille de courbes, et la condition initiale choisit celle qui convient.

Erreurs fréquentes quand on débute

1. Confondre la fonction cherchée avec une simple inconnue numérique.
2. Oublier que la méthode dépend du type d'équation. La séparation de variables ne marche que si l'équation peut réellement se réécrire sous forme séparée.
3. Perdre la constante d'intégration en cours de calcul.
4. Croire qu'une condition initiale est toujours indispensable. Elle ne l'est pas pour écrire la solution générale, mais elle l'est souvent pour isoler une seule solution.
5. Lire trop vite l'ordre de l'équation et choisir une méthode qui ne correspond pas.

Quand utilise-t-on les équations différentielles ?

On les rencontre dès qu'un problème relie une grandeur à sa variation.

Exemples classiques :

1. Croissance ou décroissance d'une population.
2. Refroidissement d'un objet quand la variation dépend de l'écart de température.
3. Mouvement, quand l'accélération est liée à la position ou à la vitesse.
4. Circuits électriques simples, où courant et tension évoluent ensemble.

Le point commun est toujours le même : on ne décrit pas seulement un état, on décrit une évolution.

Ce qu'il faut retenir rapidement

Une équation différentielle sert à modéliser une fonction à partir de sa dérivée. L'ordre indique la dérivée la plus élevée présente, la solution générale donne une famille de fonctions, et une condition initiale permet souvent d'isoler une solution particulière.

Si ce cadre est clair, la suite devient plus simple : reconnaître le type d'équation, puis appliquer la bonne méthode sans mélanger les cas.

Essayer un cas voisin

Essaie maintenant de résoudre

$$\frac{dy}{dx} = -2y \quad \text{avec} \quad y(0) = 5$$

Tu retrouveras la même logique, mais cette fois la solution décroît au lieu de croître. Pour aller plus loin, essaie ta propre version puis compare le signe de la dérivée, la constante et la condition initiale.