Dérivées : définition, règles de dérivation et exemple corrigé

La dérivée mesure le taux de variation instantané d'une fonction. Pour une fonction $f$, la dérivée $f'(x)$ indique comment $f(x)$ change quand $x$ varie très peu. Quand la dérivée existe en un point, elle correspond aussi à la pente de la tangente à la courbe en ce point.

L'idée utile à retenir est simple : en exercice, on ne repart presque jamais de la définition par limite. On reconnaît la forme de la fonction, puis on applique la bonne règle de dérivation.

Dérivée : ce que cela veut dire

Si $f'(a) > 0$, la fonction croît localement autour de $a$. Si $f'(a) < 0$, elle décroît localement. Si $f'(a) = 0$, cela signale un point à étudier, mais pas automatiquement un maximum ou un minimum.

La dérivée sert donc à lire le comportement local d'une fonction : pente, variation, tangente et points critiques.

Règles de dérivation à connaître

Voici les règles les plus utiles pour dériver rapidement.

Constante

Si $c$ est une constante, alors

$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$

Puissance

Pour tout réel $n$, sur un domaine où l'expression a un sens,

$$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$

Par exemple, $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$.

Multiplication par une constante

$$\frac{d}{dx}(c f(x)) = c f'(x)$$

Somme et différence

$$\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}(f(x) - g(x)) = f'(x) - g'(x)$$

Produit

Si $f$ et $g$ sont dérivables, alors

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

Quotient

Si $g(x) \ne 0$, alors

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

La condition $g(x) \ne 0$ est indispensable : un quotient n'est pas défini là où son dénominateur s'annule.

Composition : règle de la chaîne

Si une fonction s'écrit $f(g(x))$, alors

$$\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Cette règle est la bonne dès qu'une fonction est imbriquée dans une autre, par exemple $(3x+1)^4$.

Exemple corrigé : dériver un produit

Prenons

$$f(x) = (2x^3 - 1)(x^2 + 4)$$

La structure extérieure est un produit. Il faut donc utiliser la règle du produit, et non dériver chaque facteur séparément puis les multiplier.

Posons

$$u(x) = 2x^3 - 1$$ $$v(x) = x^2 + 4$$

Alors

$$u'(x) = 6x^2$$ $$v'(x) = 2x$$

Par la règle du produit,

$$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$$

Donc

$$f'(x) = 6x^2(x^2 + 4) + (2x^3 - 1)(2x)$$

En développant,

$$f'(x) = 6x^4 + 24x^2 + 4x^4 - 2x$$

Puis

$$f'(x) = 10x^4 + 24x^2 - 2x$$

Le point important n'est pas seulement le calcul final. Ce qu'il faut retenir, c'est la méthode : repérer la forme extérieure, choisir la règle adaptée, puis simplifier à la fin.

Erreurs fréquentes avec les dérivées

Confondre la structure de la fonction

Beaucoup d'erreurs commencent ici. Par exemple, $(x^2+1)(x^3-2)$ est un produit. Si vous oubliez cette structure, toute la dérivation part de travers.

Oublier la règle de la chaîne

Pour $(3x+1)^4$, la dérivée n'est pas seulement $4(3x+1)^3$. Il faut aussi multiplier par la dérivée de l'intérieur :

$$\frac{d}{dx}((3x+1)^4) = 12(3x+1)^3$$

Croire que $f'(a)=0$ suffit à conclure

La condition $f'(a)=0$ indique souvent un point critique, mais elle ne prouve pas à elle seule qu'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

Quand utilise-t-on les dérivées ?

Les dérivées apparaissent dès qu'on étudie une variation locale. On les utilise en étude de fonctions, en optimisation, pour décrire une vitesse instantanée, ou pour approcher une courbe près d'un point.

Par exemple, si une position est donnée par $s(t)$, alors sa dérivée $s'(t)$ représente la vitesse instantanée, à condition que la dérivée existe sur l'intervalle étudié.

Essayez un cas proche

Essayez maintenant de dériver $g(x) = (x^2 + 5)^3$. Commencez par repérer la forme extérieure, puis appliquez la règle de la chaîne. C'est une bonne façon de vérifier si la méthode est claire.